重積分究竟是為何而設
整整四篇導引裡，你一直在學二重積分及其三維兄弟的機理——如何把一塊區域切成一層層的累次積分、如何調換積分次序、如何用雅可比行列式彎折座標網格、如何在問題呈圓形時祭出極座標或球座標。這一整套機器存在的目的，只為做一件樸素的事：把一個鋪展在區域上的量累加起來。在第一卷裡，定積分累加的是鋪在一條線上的量；重積分不過是把同樣的事搬到一塊面積或一個體積上去做。這篇導引，正是這些記帳功夫終於結出物理紅利之處。
本篇一切都從下面這個唯一的想法流淌而出。設想一塊佔據平面區域 R 的薄金屬板，未必均勻——它的密度 rho(x, y)（單位面積的質量）可以隨處變化，這裡厚、那裡薄。把板子剁成一片片小瓷磚。坐落在點 (x, y) 附近、面積為 dA 的一片，承載著微小的質量 dm = rho(x, y) dA——密度乘以那一丁點面積，正如均勻小塊的質量等於密度乘面積，只是就地施用。本篇裡的每一個物理量，都是給每片瓷磚的質量 dm 掛上某個權重、再對所有瓷磚求和而造出來的。對所有瓷磚求和，恰恰正是重積分所做的事，於是每個量都不過是一個（某物）乘以 rho dA 的積分。
總質量，以及那個平衡點
從最簡單的加權方式起步：給每片瓷磚都賦權重 1。把每個 dm 累加起來，得到總質量 M = 區域 R 上 rho(x, y) dA 的二重積分。若板子均勻，rho 是個可以提到積分外的常數，於是 M = rho 乘以（R 的面積）——質量確實就是密度乘面積，正如你所料；唯有當 rho 變化時，積分才真正派上用場。這是熱身，也是你該先跑一遍的穩健性檢驗：如果你連區域 R 上的質量積分都列不出來，那你還沒準備好列那些更難的，因為它們全都在同一個 R 上、用同一個 dA 來積分。
現在按位置給每片瓷磚的質量加權。[[calc-center-of-mass|質心]]是這塊板子擱在一根針上恰好平衡的那個唯一的點——以質量為權的平均位置。它的 x 座標是 x-bar = (1/M) 乘以區域 R 上 x rho dA 的二重積分，同樣地 y-bar = (1/M) 乘以 y rho dA 的積分。把公式當它本來的樣子來讀：每片瓷磚都為自己的 x 位置投票，但重的瓷磚那一票分量更大（它帶著更多的 dm），而除以 M 則把這場點票歸一化成一個誠實的平均。分子裡那個量，即 x rho dA 的積分，甚至自有其名——質量關於 y 軸的一階矩——因為位置出現在一次冪上。
轉動慣量：平方改變了一切
質量量度的是把一個物體沿直線推動有多難。[[moment-of-inertia|轉動慣量]]量度的則是讓它繞一根軸旋轉有多難——它是旋轉版的質量，是旋轉定律「力矩等於 I 乘以角加速度」裡那個 I，與「力等於質量乘加速度」一模一樣的孿生兄弟。關鍵的新成分在於：它不僅取決於有多少質量，更取決於那些質量相對於軸坐落在何處。對距軸 d 遠的單個質點 m，轉動慣量是 m d^2：質量乘以其距離的平方。要得到整個物體，就給每片瓷磚的質量按其到軸距離的平方加權，再積分。
具體說來，對我們這塊板，到 x 軸的距離就是 y，所以關於 x 軸的轉動慣量是 I_x = 區域 R 上 y^2 rho dA 的二重積分。關於 y 軸時距離是 x，給出 I_y = x^2 rho dA 的積分。而關於原點的極矩——抵抗繞穿過原點的豎直軸旋轉的能力——用的是到那根軸的距離平方 x^2 + y^2，於是 I_0 = (x^2 + y^2) rho dA 的積分 = I_x + I_y。因為距離以平方進入，這也叫質量的二階矩，與構築質心的那些一階矩刻意相對。那個平方不是細節，而是這個量的全部性格。離軸遠一倍的質量，對轉動慣量的貢獻是四倍，所以遠處的質量徹底地佔據主導。
這一個事實——遠處的質量按平方加權——解釋了一衣櫥的日常物理。花樣滑冰運動員一收臂便旋轉得更快，因為把質量挪近軸會縮小 I，而在角動量守恆下，更小的 I 意味著更大的轉速。一個用來儲存旋轉能量的飛輪，造得輪緣沉重，因為在那裡每一千克都換來最多的 I。而極矩 I_0 = (x^2 + y^2) rho dA 的積分，恰恰正是那個央求著極座標的被積式：x^2 + y^2 坍縮成 r^2，而你馬上就會看到這同一種坍縮施展出真正的魔法。
高斯積分，被極座標撬開
現在來領賞。[[gaussian-integral|高斯積分]]是鐘形曲線下的總面積，即整條實軸上 e^{-x^2} dx 的積分，它等於那個既奇異又乾淨的數 sqrt(pi)。奇異，是因為 e^{-x^2} 沒有初等原函數——在初等函數裡，寫不出到某個有限點為止的面積的公式，正因如此才不得不發明誤差函數 erf 來給那部分面積命名。（把這個詞說精確些：「非初等」指的是沒有初等的封閉形式，*並非*說這積分不可計算——它是一個完全確定的、有限的數，你能算到任意精度。）然而一路到無窮遠的面積，卻是這無瑕的 sqrt(pi)。當沒有一個部分和是乾淨的時，總和怎麼會潔淨？謎底是數學中最美的技巧之一，而它是一個喬裝的重積分。
把答案記作 I，於是 I = 整條實軸上 e^{-x^2} dx 的積分。這個一維積分負隅頑抗，那就把它平方——而平方正是那扇打開門戶的鑰匙，因為兩個一維積分之積就是一個二重積分。在第二個副本裡用啞變量 y，I^2 = (e^{-x^2} dx 的積分) 乘以 (e^{-y^2} dy 的積分) = 整個平面上 e^{-x^2} e^{-y^2} dA 的二重積分 = 平面上 e^{-(x^2 + y^2)} dA 的二重積分。我們把一個棘手的一維積分升格成了一個遍及整個平面的二維積分——這聽上去更糟，直到你留意被積式只依賴於 x^2 + y^2，即到原點的距離平方。那正是一個暗地裡呈圓形的問題的標誌，而圓形的問題正是極座標為之而生的。繼而換元到極座標，白白從面積元裡供來一個額外的 r 因子——而正是這個因子，恰是你用尋常的 u = r^2 代換去積 e^{-r^2} 時所需要的那塊導數形狀的零件。幾何把代數遞到你手上：徑向積分坍縮為 1/2，角向掃過貢獻出一個整 2 pi，於是 I^2 = pi，故 I = sqrt(pi)。再取一半（鐘形曲線對稱），便得到你將永遠引用的那個形式：從 0 到無窮的 e^{-x^2} dx 的積分 = sqrt(pi)/2。
I = integral_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx ( the goal )
Square it and pair the two copies into one double integral:
I^2 = ( int e^{-x^2} dx )( int e^{-y^2} dy )
= int int_{plane} e^{-(x^2 + y^2)} dA
Switch to polar: x^2 + y^2 = r^2, dA = r dr dtheta
^^^^^^^^^ the Jacobian factor
I^2 = int_{0}^{2pi} int_{0}^{inf} e^{-r^2} . r dr dtheta
The stray r is exactly what makes the radial part elementary.
Let u = r^2, du = 2r dr :
int_{0}^{inf} e^{-r^2} r dr = (1/2) int_{0}^{inf} e^{-u} du = 1/2
I^2 = int_{0}^{2pi} (1/2) dtheta = (1/2)(2pi) = pi
==> I = sqrt(pi) and int_{0}^{inf} e^{-x^2} dx = sqrt(pi)/2萬用一方
請注意，質量、質心和轉動慣量並非三項各自獨立的本領——它們是一項本領配上三種不同權重的施用。每一個都是區域 R 上（權重）乘以 rho dA 的積分：權重 1 給出質量；權重 x 或 y 給出一階矩，再除以 M 便給出質心的一個座標；權重（到軸的距離）^2 給出一個轉動慣量。難處從不在物理公式；它永遠在於刻畫區域 R、並選取讓積分變得宜人的座標——正是你在本級前幾篇導引裡練就的那些肌肉。所以這套步驟很短，而且每次都一樣。
- 畫出區域 R，並選取貼合其形狀的座標——矩形與圖像用直角座標，圓盤與楔形用極座標，圓形立體用球座標或柱座標。這一個抉擇，決定了積分是友善還是兇猛。
- 為那套座標寫下正確的面積元或體積元——dx dy，或極座標裡的 r dr dtheta，或球座標裡的 rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta——並永遠別忘了這個雅可比因子；它是最常見的無聲錯誤。
- 先算出總質量 M = 區域 R 上 rho dA 的積分。你將把它當作質心的分母重複使用，而算它是為後面更難的積分所做的一次低風險彩排。
- 掛上你所需的權重——求一階矩用 x 或 y（隨後除以 M），求轉動慣量用（到軸的距離）^2——再在那同一個 R 上、用那同一個元來積分。同一區域、同一 dA、不同權重：這就是全部的把戲。
至此，這一級也就收束了。你進來時，會算矩形上的一個累次積分；你離開時，已能刻畫一塊彎曲的區域、用雅可比為它換座標，並讀出一個物理物體的質量、平衡點與旋轉的倔強——並且，作為犒賞，能徒手算出那個錨定整個概率與統計的積分。那個曾在換元中為面積重新標度的 r dr dtheta，到頭來竟是高斯積分背後的隱祕主角。接下來，在向量微積分裡，這些同樣的區域將長出第三個維度和一種方向感：我們將不再只積區域上的密度，而要積穿過曲面的流量，而格林、斯托克斯與高斯的偉大定理，將像微積分基本定理當年把端點繫於一條線那樣，把邊界繫於內部。