為何你拿到的網格是錯的網格
上一篇給了你那把萬能鑰匙：換元定理，連同它那枚度量坐標映射把面積拉伸了多少的雅可比行列式。本篇就把這把鑰匙用在你將一次次伸手去取的三種變量替換上。理由既簡單又有物理味。笛卡爾坐標把平面切成一個個小方塊，方塊拿來描述矩形妙極了。但世界滿是圓盤、柱體和球體，而方格網去貼合圓形區域，就像方格紙去貼一隻餐盤——糟糕透頂，邊緣處處參差。
試著在笛卡爾坐標下列出某個量在單位圓盤上的積分，你立刻就感到疼。積分區域逼著內層上下限是 y 從 -sqrt(1 - x^2) 跑到 +sqrt(1 - x^2)。這些彎曲的限隨後糾纏每一步，而像 x^2 + y^2 這樣無辜的因子一路與你為敵。區域的幾何與被積函數的代數都在尖叫：你給一個圓形問題帶錯了尺子。
解法是換一張與對稱性相配的網格。若一個區域由圓與射線搭成，就用一個半徑和一個角度來描述它的點，而非兩段距離。若一個立體繞某條軸旋轉對稱，用柱坐標；若它繞某個點對稱，用球坐標。在對的坐標裡，彎曲的邊界變成一堵平直的牆——「半徑等於 1」是單單一個數，而非一條拋物線——積分區域在新變量裡重新化作齊整的矩形。本篇的全部藝術，就是讓坐標系與問題的形狀相配。
極坐標與著名的 r dr dtheta
在[[polar-coordinates|極坐標]]裡，平面上一點用它到原點的距離 r 與它的射線和正 x 軸所成的角 theta 來命名。回到笛卡爾的字典是 x = r cos(theta)、y = r sin(theta)，反過來是 r = sqrt(x^2 + y^2)、theta 為 (x, y) 的輻角。好處立竿見影：可怕的組合 x^2 + y^2 坍縮成單單一個乾淨的 r^2，而單位圓盤不過是矩形 0 <= r <= 1、0 <= theta <= 2 pi。圓形區域成了一隻盒子。
但這裡有個絆倒每個初學者的陷阱：你不能直接寫 dx dy = dr dtheta。那是謊言，圖景會告訴你為何。設想 r 增加微小的 dr、theta 增加微小的 dtheta 時掃出的小塊。它有兩條邊是徑向的，長 dr，另兩條卻是圓弧。在半徑 r 處張開角 dtheta 的弧，弧長是 r dtheta——外圈鄰邊弧長，近心處短弧。於是這小塊大致是一個邊長為 dr 與 r dtheta 的矩形，面積就是二者之積：dA = r dr dtheta。那個多出來的因子 r 就是全部故事，且絕非偶然——它恰是極坐標映射的雅可比行列式。
你可以直接硬算雅可比來確認。偏導數矩陣是 [partial x / partial r, partial x / partial theta; partial y / partial r, partial y / partial theta] = [cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)]。它的行列式是 r cos^2(theta) + r sin^2(theta) = r。關於弧的揮手論證與行列式冷冰冰的代數完全一致，本就該如此。現在看那個曾是笛卡爾噩夢的單位圓盤積分如何融化：把 1 在圓盤上積分，化為在 0 <= theta <= 2 pi 與 0 <= r <= 1 上對 r dr dtheta 積分，結果是 2 pi 乘以 (1/2) = pi——單位圓盤的面積，從兩個平凡的單重積分裡掉了出來。
柱坐標：極坐標外加一個高度
邁進三維，最省事也最有用的念頭是保留一根笛卡爾軸不動，把另外兩根變成極坐標。那就是[[cylindrical-coordinates|柱坐標]]：x = r cos(theta)、y = r sin(theta)、z = z。你用一點離 z 軸有多遠（r）、繞到哪個方向（theta）、有多高（z）來描述它的位置。它是一切繞豎直軸旋轉對稱之物的天然語言——一隻罐頭、一根管子、一場龍捲風、一根旋轉的軸——因為這樣的立體不過是平面圖裡的一塊極坐標區域，筆直往上複製到某個高度。
由於 z 方向原封未動，體積元不過是極坐標面積元披上一層 dz。這隻小盒子的底面積是 r dr dtheta，高是 dz，體積便是 dV = r dr dtheta dz。沒有新東西要背——就是極坐標的 r dr dtheta 疊上一個高度。若你硬算完整的 3 乘 3 雅可比行列式，又恰好得到 r，因為 z 行與 z 列貢獻一個乾淨的因子 1，把平面那塊 2 乘 2 留出來交出它的 r。弧長直覺與行列式再次握手。
設想求一個半徑 a、高 h 的圓柱的體積。在柱坐標下它就是盒子 0 <= r <= a、0 <= theta <= 2 pi、0 <= z <= h，r dr dtheta dz 在其上的積分拆成三個互相獨立的單重積分：(a^2 / 2) 乘 2 pi 乘 h，即 pi a^2 h。每條邊界都是常數；彎曲的側壁「r = a」是單單一個數；上下限裡全無彎曲。這正是坐標系配得好的標誌——在笛卡爾裡費勁的幾何，已被完全吸收進變量的名字裡。
球坐標與 rho^2 sin(phi) 因子
當一個問題繞一個點而非一條軸對稱時——一個球、一顆行星的引力、一個原子的軌道、任何朝各方向均勻輻射之物——就伸手去取[[spherical-coordinates|球坐標]]。這裡一點用 rho 命名，即它到原點的直線距離；phi，從正 z 軸向下量的極角（北極處為 0，南極處為 pi）；以及 theta，仍是之前那個繞 z 軸的方位角。字典是 x = rho sin(phi) cos(theta)、y = rho sin(phi) sin(theta)、z = rho cos(phi)。半徑 a 的實心球不過是盒子 0 <= rho <= a、0 <= phi <= pi、0 <= theta <= 2 pi。
體積元看著更嚇人，但它的三塊各自都好看清。把 rho 增加 drho，你沿徑向移動距離 drho。把 phi 增加 dphi，你沿半徑 rho 處的一段大圓弧擺動，掃過長度 rho dphi。把 theta 增加 dtheta，你繞一個緯圈擺動——這裡是微妙之處——其半徑不是 rho 而是 rho sin(phi)，因為緯圈在趨近兩極時縮小。那段弧長為 rho sin(phi) dtheta。把這三條近乎互相垂直的邊相乘，就得到 dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta。
這些邊長 drho、rho dphi、rho sin(phi) dtheta，恰是術語[[scale-factors|拉梅係數（標度因子）]]所命名的東西：每個坐標的變化與你實際走過距離之間的換算率。在任何正交系裡，體積元就是諸標度因子之積，所以極坐標給出 1 乘 r，柱坐標給出 1 乘 r 乘 1，球坐標給出 1 乘 rho 乘 rho sin(phi) = rho^2 sin(phi)。球坐標映射完整的 3 乘 3 雅可比行列式精確確認了這一點：塵埃落定後它等於 rho^2 sin(phi)，對 0 與 pi 之間的 phi 為正，正如幾何所許諾。
AREA / VOLUME ELEMENTS (each = product of the scale factors)
polar dA = r dr dtheta scale factors: 1, r
cylindrical dV = r dr dtheta dz scale factors: 1, r, 1
spherical dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta
scale factors: 1, rho, rho sin(phi)
Volume of a ball of radius a:
integral over 0<=rho<=a, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi of rho^2 sin(phi)
= (a^3/3) * [-cos(phi)]_0^pi * (2pi)
= (a^3/3) * (2) * (2pi) = (4/3) pi a^3 <- as it must be選對坐標系，以及那些小字條款
- 先讀區域的對稱性，而非被積函數。平面上的圓盤，或任何由圓與射線圍成之物：用極坐標。繞單一軸旋轉對稱的立體（圓柱、圓錐、拋物面、鑽穿球的孔）：用柱坐標。繞單一點對稱的立體（球、球殼、甜筒形區域）：用球坐標。
- 再查被積函數作為第二意見。含 x^2 + y^2 的因子在呼喚極坐標或柱坐標（它會變成 r^2）；含 x^2 + y^2 + z^2 的因子在呼喚球坐標（它會變成 rho^2）。若區域說一套、被積函數說另一套，通常區域取勝，但一個乾淨的被積函數能在兩可之間一錘定音。
- 把邊界改寫成新變量裡的常數上下限，絕不忘記附上面積元或體積元，然後才從內到外積分。如今那個元就是被積函數的一部分——漏掉 r 或 rho^2 sin(phi)，是整門學問裡最常見的唯一錯誤。
還有一條值得直說的告誡：記號在各領域並不統一，它會在某本教科書或某篇物理論文裡絆你。許多文獻互換 theta 與 phi 的角色，或用 r 表示我們用 rho 的球面距離，或把極角從赤道向上量而非從極點向下量。數學完全相同；只是標籤在挪動。每打開一份新文獻，就找到它的圖，釘死哪個字母是半徑、哪個角從何處量起，若有任何疑慮，就從標度因子重新推導體積元。幾何從不說謊，哪怕兩本書在字母表上各執一詞。
這通向何處
你如今握有在物理與工程中擔起大部分重活的三種坐標系，連同那條讓每一種都可信賴的事實：面積元或體積元是該系標度因子之積，等於映射的雅可比行列式。這條原理是普遍的——當你為熱方程與波方程取曲線坐標系下的拉普拉斯算子時，它會再次現身，那裡正是同一批標度因子決定算子的形狀。你在積分上學到的模式，回過頭來統轄導數。
更緊接著，下一篇把這些元兌現成真實的物理量。一旦你能在圓形物體上乾淨地積分，你就能稱它的重：把密度作二重或三重積分給出總質量，再把加權位置積分除以這質量，就給出質心。同一套機器，插入一個距離平方的因子，便產出統轄物體抗旋轉能力的轉動慣量。你剛學會要敬重的那個因子 r 或 rho^2 sin(phi)，正是讓上述每一個物理數字算對的關鍵。