從一排條形到一片柱子
回想第一卷中定積分是怎麼搭起來的。你把區間 [a, b] 切成寬為 dx 的小片，把每片寬度乘上那裡的高度 f(x)，再把這些細長方形加起來。那個和，一個黎曼和，隨著切片變細而逼近精確答案——曲線下的有向面積。二重積分的一切都是同一個直覺，被抬高了一維：你不再沿一條線把條形相加，而是把立在平面一塊地皮上的一根根小柱子相加。
把函數 z = f(x, y) 想象成一片地貌——一張漂浮在 xy 平面某區域 R 上方的彎曲曲面。要求出這曲面與地面之間夾住的體積，把 R 切成一格格小長方形，每格面積為 dA = dx dy。在其中一個長方形上，曲面在某高度 f(x*, y*) 處近乎平坦，於是立在它上面的柱子體積約為 f(x*, y*) dA。把每根柱子加起來，便得到一個隨網格變密而改善的數。這個和的極限就是[[double-integral|二重積分]]，記作 f(x, y) 在 R 上的二重積分對 dA 求和。
嚴格地說，你取這些黎曼和在最大格子直徑趨於 0 時的極限：二重積分就是對 i 求和 f(x_i*, y_i*) 乘以 dA_i 的極限。當這極限存在、且無論你怎樣切網格、在每格裡何處取樣都給出同一個值時，就稱 f 在 R 上可積。有界且合理區域上的連續函數總是合格的，所以接下來的實際問題你幾乎不必擔心——但積分的值是由這個求和取極限定義的，而不是由任何公式。體積只是頭一種解釋；同一臺機器之後還會把質量、電荷或概率加起來。
富比尼定理：一道難和，一次切一片
這定義很美，卻無法用來計算——沒人會徒手把無窮多根縮小的柱子加起來。出路是[[fubinis-theorem-computational|富比尼定理]]，它說二重積分可以化成一個累次積分來求：兩個普通的單重積分一個套一個，而你早已會做每一個。圖景就是用平行的切口去切這個立體。固定 y；那裡的橫截面是一片薄板，其面積是 f(x, y) 對 x 的單重積分。這面積只是 y 的函數 A(y)。然後讓 y 掃過其範圍並對 A(y) 積分——你就把這些薄板加成了完整體積。
在一個普通矩形 a <= x <= b、c <= y <= d 上，富比尼定理寫作：二重積分等於從 c 到 d 對 [ 從 a 到 b 對 f(x, y) 關於 x 的積分 ] 關於 y 的積分。內層積分把 y 當作凍結的常數——恰是反過來運行的偏導數的精神——產生一個 y 的函數；外層積分隨即收尾。具體地，x*y 在單位正方形上的二重積分：內層對 x 從 0 到 1 積分 x*y dx 得 y/2；外層對 y 從 0 到 1 積分 y/2 dy 得 1/4。一道真正二維的求和，被拆成了兩道一維的。
當區域不是方盒
實際問題很少遞給你一個利落的矩形。區域可能是三角形、圓盤，或兩條曲線之間夾出的面積。補救之道是讓內層的上下限依賴外層變量。設你先對 y 積分，[[region-of-integration|積分區域]]從下邊界曲線 y = g(x) 升到上邊界曲線 y = h(x)，而 x 取遍 [a, b]。那麼累次積分成為從 a 到 b 對 [ 從 g(x) 到 h(x) 對 f(x, y) 關於 y 的積分 ] 關於 x 的積分。外層的上下限永遠是純常數；內層的上下限可以是描述區域移動邊牆的函數。
試試頂點為 (0, 0)、(1, 0)、(1, 1) 的三角形——即 0 <= y <= x 且 x 從 0 到 1 的區域。在那裡對 f = 1 積分，你應當還原出三角形的面積 1/2。內層從 0 到 x 對 1 關於 y 積分得 x；外層從 0 到 1 對 x dx 積分得 1/2。內層上限 x 不是筆誤——它是把三角形的斜邊 y = x 寫進了記賬裡。這也是計算你在第一卷遇到的兩曲線之間面積最乾淨的辦法：它不過是 1 在所圍區域上的二重積分。
由於同一區域可有兩種描述——先掃 y，或先掃 x——你往往能交換[[order-of-integration|積分次序]]，而其中一種次序常常遠比另一種容易。交換不是機械地給上下限改個名：你必須重畫區域，再從另一根軸讀出它的界。一個著名的回報是從 0 到 1 對 x 積分 [ 從 x 到 1 對 y 積分 e^{y^2} dy ]。內層積分沒有初等原函數，把你卡得死死的。顛倒次序——同一三角區域，如今 0 <= x <= y、0 <= y <= 1——內層對 x 積分 e^{y^2} dx 變成 y 乘 e^{y^2}，它瞬間積出 (e - 1)/2。同一區域，同一答案，難度天差地別。
Same triangle {0<=x<=y, 0<=y<=1} = {x<=y<=1, 0<=x<=1}, two readings:
inner dy, outer dx inner dx, outer dy
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int_{x=0}^{1} int_{y=x}^{1} ... int_{y=0}^{1} int_{x=0}^{y} ...
outer limits: constants 0,1 outer limits: constants 0,1
inner limits: y from x to 1 inner limits: x from 0 to y
RULE: outer limits are ALWAYS constants; only inner limits may carry
the other variable. To swap: redraw R, re-read the bounds.疊加到三重積分
登上三維時，精神上沒有任何新東西。[[triple-integral|三重積分]]把空間中的立體區域 E 切成體積為 dV = dx dy dz 的小盒子，用盒子內 f(x, y, z) 的值給每個盒子加權，再求和。它仍是黎曼和的極限，只是如今在三維網格上。誠實的心象：你不再是測量曲面下的體積——要那個，就對常數 1 積分，它把 dV 加成立體的純體積。當 f 非常數時，你在對鋪滿立體的密度求和，自然的解讀是總量，而非體積。
富比尼定理乾淨地延伸：三重積分展開成三個嵌套的單重積分。規矩相同，只是深了一層——最內層的上下限可依賴兩個外層變量，中層的上下限可依賴最外那一個變量，而最外層的上下限必須是光禿禿的常數。對盒狀區域，每個上下限都是常數，你按任意喜歡的次序依次對 z、y、x 積分即可。對彎曲的立體，你把它描述成「z 從一張底面跑到一張頂面，覆蓋 xy 平面上的一片影子區域 R」，先做 z 積分，剩下的恰好是影子 R 上的一個二重積分——把新問題坍回到你剛學會的那個。
- 畫出立體 E 並選一個次序，比如先 dz、再 dy、再 dx。這草圖不是可選項——幾乎每個錯誤答案都源於畫錯了區域，而非搞砸了原函數。
- 找最內層的上下限：對固定的 (x, y)，z 在何處進入、又在何處離開立體？這給出底面與頂面 z = z_low(x, y) 與 z = z_high(x, y)。
- 把立體向下投影到 xy 平面得到它的影子 R，再像對 R 做二重積分那樣，恰好定下中層與外層的上下限。
- 由內向外積分——先 z，再 y，再 x——在每一步把所有尚未積分的變量當作常數，正如反過來做偏導數。
為何這是整個臺階的引擎
退一步，看看你如今真正握有什麼。多重積分是唯一誠實地把一個量在面積或體積上加起來的方式，而富比尼定理把這種加法化成第一卷的單重積分，使其可計算。換上不同的被積函數，同一套機器便讀出不同的物理真相：對密度 rho(x, y, z) 積分得到總質量，對以密度加權的 x 積分求出質心坐標，對到某軸距離的平方積分得到轉動慣量。積分本身不變；改變的只是你對被積函數講的故事。
還剩一道大缺口，而這臺階其餘部分正是為彌合它而建。至此每個區域都用筆直的 x-y-z 板片來描述，這對任何圓的東西都很痛苦：圓盤、圓柱、球都與矩形網格作對。接下來的幾篇引入極坐標、柱坐標和球坐標，那裡一個圓不過是「r = 常數」。然而在積分裡換坐標並非免費——面積和體積在新尺子下會伸縮，一個叫雅可比行列式的修正因子必須隨行，好讓 dA 與 dV 保持誠實。在這裡把樸素的 x-y-z 套路練熟，那次換元就會是一次乾淨的升級，而非一躍入霧。