把兩個變換相乘，意味著什麼？
到這一步，那個節奏已經長進你骨頭裡了：變換、在 s 域裡做代數、求逆。而做代數這一步，不斷把*乘積*塞到你手裡。當你解一個線性常微分方程，你會走到 Y(s) = H(s) X(s)——輸出的變換等於傳遞函數乘以輸入的變換——而要把它求逆，你必須回答一個尖銳的問題：若 F(s) 與 G(s) 是 f(t) 與 g(t) 的變換，那麼乘積 F(s) G(s) 屬於哪個時間函數？誘人的猜測是 f(t) g(t)，即逐點乘積。這個猜測是錯的，而看清它為何錯，便打開了通往本學問中最有用的想法之一的那扇門。
一個快速的可信度檢驗就殺死了那個錯猜測。取 f(t) = g(t) = 1，它們經變換給出的積分是 F(s) = G(s) = 1/s。倘若規則真是逐點相乘，那麼 F(s) G(s) = 1/s^2 的逆變換就該是 1 乘 1 = 1。可是查表可知，1/s^2 的逆變換是 t，而非 1。所以變換的乘積對應的是*全然另外一樣東西*——而那樣東西，是由一個滑動、重疊的積分搭起來的，絕不是把對齊時刻上的函數值相乘。
卷積：把一個函數的過去摻進另一個
在 s 域裡與乘法對應的那個時間運算，叫做卷積，用一顆星號來寫：(f * g)(t) = 從 0 到 t 對 f(tau) g(t - tau) d tau 積分。把這積分讀成一份配方。讓 tau 跑遍從 0 到當下 t 的一切過去時刻。在每個過去時刻 tau，取出 f(tau) 這個值，再用 g(t - tau) 給它加權——即第二個函數在「自 tau 起所經過的時間」處的取值。然後累加。卷積定理給出乾淨的承諾：L{f * g} = F(s) G(s)。s 世界裡的乘積，就是 t 世界裡的卷積，沒有別的。
想像那個機械動作。要構造 g(t - tau)，你把 g 拿來，左右翻轉（那個負號），再平移，使它的原點正坐在當下時刻 t 上；然後讓它與 f 重疊，把兩條圖像在它們共享的區域上之乘積積分起來。隨著 t 推進，翻轉後的 g 滑得更遠，掃過 f 歷史中更多的部分——這正是為什麼卷積讓人感到像回聲、像塗抹：當下的輸出，是整段過去的一個加權和。這與你日後會在傅立葉卷積定理中再次遇見的「翻轉—平移—累加」是同一幅圖景；這個運算是同一個想法，在各種變換間共享。
現在是求逆所得的回報。假設你做完一個常微分方程，手裡握著 Y(s) = 1/(s(s^2 + 1))。你也許在任何表裡都找不到它，但你認得每一個因子：1/s 是 1 的變換，而 1/(s^2 + 1) 是 sin(t) 的變換。定理說，乘積的逆變換是各逆變換的卷積，於是 y(t) = 1 * sin(t) = 從 0 到 t 對 sin(tau) d tau 積分 = 1 - cos(t)。你把一個查不到的乘積求了逆，靠的是對兩塊查得到的東西做卷積。這就是該定理的日常用法：拆開、認出、卷積。
赫維賽德階躍：一個數學開關
真實的輸入很少從遠古一直運行；它們是被開關切換的。電壓被施加、閥門被打開、力在 t = 2 秒開始。這個數學開關，就是赫維賽德階躍函數 u(t - a)：它在時刻 a 之前為 0、之後為 1，是一次從關到開的乾淨跳躍。在變換世界裡，它是組裝一切分段、通斷輸入的基本積木。它的變換出奇地簡單——L{u(t - a)} = e^{-a s}/s，而原點處的階躍 u(t) 變換為 1/s。
階躍組合起來便能拼出任何分段的東西。僅在 t = a 與 t = b 之間為 1 的矩形脈衝，是 u(t - a) - u(t - b)：第一個階躍把它打開，第二個把它關回去。階梯是若干階躍之和；一個反覆通斷的信號，是若干這樣的脈衝之和。要變換一個*被延遲並平移過的*信號，你用第二平移定理：L{f(t - a) u(t - a)} = e^{-a s} F(s)。換句話說，把函數在時間上延遲 a，就在它的變換上乘以 e^{-a s}——那個指數因子是純時間延遲的鮮明標誌，看到它，你在求逆時便能把一段延遲倒著讀出來。
正因如此，拉普拉斯方法把處理分段強迫的經典做法碾壓了。舊辦法在每個區間上分別解常微分方程，然後在每個斷點處費力地匹配解及其導數，以保持連續。變換的辦法則把整個強迫函數編碼成一個用階躍寫的表達式，變換一次、解代數一次、求逆一次——切換信息原封不動地搭著變換通過，物理上的連續性自動掉了出來。一條誠實的告誡住在自變數裡：定理需要的是真正被平移過的 f(t - a)，而非 f(t) 僅僅乘以一個階躍。若你手裡是 g(t) u(t - a) 而 g 尚未平移，那就先把 g 用 (t - a) 改寫，再套用規則。
狄拉克 delta：理想化的猛擊
有些輸入不是開關，而是猛擊：錘擊、傾倒進去的電荷火花、碰撞——全部集中在一個瞬間。其模型，就是狄拉克 delta delta(t - a)：一個持續時間為零、卻總強度為一的輸入，無限高、無限窄，卻恰恰圍出面積一。它的定義性行為是*篩選性質*：delta(t - a) g(t) 對 t 的積分 = g(a)。delta 伸進任意函數，把它在點 a 處的值掐了出來。由此，它的拉普拉斯變換一行即得——L{delta(t - a)} = e^{-a s}，而原點處的 delta 變換為光禿禿的常數 1。
給系統餵一記衝激，驚人的事就發生了。解 y'' + y = delta(t)，初值 y(0) = 0、y'(0) = 0。變換：因為 L{delta(t)} = 1，方程變成 (s^2 + 1) Y = 1，於是 Y = 1/(s^2 + 1)，y(t) = sin(t)。請注意，同一個系統若沒有強迫、又有同樣的零初值，就只會永遠靜坐在 y = 0。t = 0 處那一記瞬時的猛擊改變了一切：它在 0- 與 0+ 之間注入它的強度，實際上把速度 y' 從 0 跳到了 1，此後系統便迴盪不已。衝激是一次突然的注入，而代數替你處理了它，你從頭到尾都無需把時間軸切開。
衝激響應：萬物在此繫到一處
把一口鐘猛地敲一下，聽。那迴盪又漸隱的聲音，是這口鐘的簽名——而了不起的是，它告訴你這口鐘將如何對任何聲音作出響應。這個簽名有一個精確的名字：衝激響應 h(t)，即一個靜止的線性系統在輸入為單個單位衝激（一個狄拉克 delta）時的輸出。因為 L{delta(t)} = 1，s 域輸出不過是 H(s) 乘以 1，所以 h(t) 與傳遞函數 H(s) 是一對變換：衝激響應恰是傳遞函數的拉普拉斯逆變換。
現在看本篇的幾條線索如何編到一起。對任意輸入 x(t)，s 域裡的輸出是 Y(s) = H(s) X(s)——一個乘積。由卷積定理，那個乘積求逆便是時間裡的一個卷積：y(t) = (h * x)(t) = 從 0 到 t 對 h(tau) x(t - tau) d tau 積分。從物理上讀它。把輸入看成一列密集的、被縮放並延遲的衝激；系統對每一個，都回以它衝激響應被縮放並延遲的一份拷貝；你把所有回聲疊加起來。這個卷積積分，對連續的輸入而言*就是*疊加原理。這正是為什麼鐘那一聲迴盪就講出了整個故事：知道了一記猛擊的回聲，你便靠卷積知道了任何輸入的回聲。
Two costumes for one fact (linear, time-invariant system at rest):
s-domain: Y(s) = H(s) * X(s) ( ordinary product )
|
invert | convolution theorem
v
t-domain: y(t) = (h * x)(t)
= integral_0^t h(tau) x(t - tau) d tau
where h(t) = inverse-Laplace{ H(s) } = impulse response
( forcing = delta(t), zero initial conditions )
Worked impulse: y'' + y = delta(t), y(0)=y'(0)=0
L: (s^2 + 1) Y = L{delta} = 1
Y = 1/(s^2 + 1)
h(t) = sin(t) <- the impulse response itself