求解初值問題

一舉變換整個微分方程

在上一篇指南裡，你掙得了讓整台機器運轉的那一條規則：導數的變換把時間裡的求導，變成 s 域裡乘以 s，並順手把起始值一併拖了出來。寫明白便是 L{y'(t)} = s Y(s) - y(0)，再用一次給出 L{y''(t)} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)。y 上的每一撇都化作 Y 上的一個 s 的冪，每用一次便抖落一塊初始數據到明面上。本篇只做一件事：把那條規則對準一個真正的初值問題，並把答案從另一頭走出來。

取一個具體的問題，並在整篇指南裡都盯著它：y'' + 3 y' + 2 y = 0，其中 y(0) = 2 且 y'(0) = -3。在你早先那一級，你會這樣進攻它——寫下一個特徵方程，求出它的根，組成一個指數的一般組合，直到最末了才靠強加初始條件釘死兩個常數。拉普拉斯方法把這個次序倒了過來，倒得幾乎不公平：初始條件在最最第一步就進去了，而到末了再也沒有什麼鬆動的常數要去追。

把 L 作用到每一項，借線性逐項進行。y'' 變成 s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)；3 y' 變成 3(s Y(s) - y(0))；2 y 變成 2 Y(s)；而右端為零，便仍是零。趁著容易，此刻就把數值 y(0) = 2 與 y'(0) = -3 代進去。變換後的方程讀作 s^2 Y - 2 s - (-3) + 3(s Y - 2) + 2 Y = 0，整理成 (s^2 + 3 s + 2) Y(s) - 2 s - 3 = 0。請注意，任何地方都不再剩下一個導數——只有 s 與 Y(s)，被樸素的算術拴在一起。

初始條件分文不取地進入

在剛剛發生的事上停一停，因為這是方法核心處那個安靜的奇蹟。經典做法給出一個佈滿任意常數的*通*解，而初始條件是個事後補辦——一個你在最末了去解、好釘死那些常數的、單獨的小線性方程組。這裡，y(0) 與 y'(0) 這兩個值壓根不是事後補辦。它們是自動走進來的，由分部積分在生出導數法則時掉下來的那個邊界項所攜帶。變換不懂得如何忘掉它們；變換一個導數這一舉動本身，就把起始數據交到你手裡，在你解出任何東西之前，便已烤進了方程。

有一件事值得看清楚：乘在 Y(s) 上的那個多項式 (s^2 + 3 s + 2) 並非巧合——它是這個常微分方程的特徵多項式，只是換了頂帽子。舊方法要你把那多項式置零、求它的根；新方法把它整個保留，並去除以它。它的根 s = -1 與 s = -2 仍是戲眼所在，但如今它們是作為 Y(s) 的*極點*現身的——也就是分母變零之處——而每個極點都將在最終答案裡恰好交給你一個指數。同樣的物理、同樣的數，只是從另一頁讀出來罷了。

解出代數，再用部分分式求逆

現在是那個輕鬆的中段。從 (s^2 + 3 s + 2) Y(s) - 2 s - 3 = 0，就像你中學時孤立 x 一樣孤立出 Y(s)：Y(s) = (2 s + 3)/(s^2 + 3 s + 2)。這就是整個「s 域解」。其中沒有微積分，也再沒什麼要積分的——整個微分方程已溶解成一個多項式之比。剩下唯一的任務，是爬回橋那頭：找出那個變換恰為這個 F(s) 的關於 t 的函數。這趟回程就是拉普拉斯逆變換，而對一個多項式之比，它幾乎總是用一種技術來完成。

這種技術就是部分分式分解——正是你在卷一裡初遇、用來馴服有理被積函數的那套代數，如今改派作求逆的主力。把分母分解：s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)。部分分式的要點在於，一個架在若干因式之積上的笨拙的單一分式，可以拆成若干簡單塊之和，一個因式一塊：(2 s + 3)/((s + 1)(s + 2)) = A/(s + 1) + B/(s + 2)。我們之所以這麼拆，恰恰因為每一個簡單塊 A/(s - a) 都是*可辨認的表項*——它是某個指數的變換——而那個揉在一起的分式，在表裡什麼都對不上。

Y(s) = (2 s + 3) / ((s + 1)(s + 2)) = A/(s + 1) + B/(s + 2)

Clear denominators:   2 s + 3 = A (s + 2) + B (s + 1)

Cover-up at s = -1:   2(-1) + 3 = A(-1 + 2)  ->  1 = A      ->  A = 1
Cover-up at s = -2:   2(-2) + 3 = B(-2 + 1)  -> -1 = -B     ->  B = 1

  Y(s) = 1/(s + 1) + 1/(s + 2)

Read each piece backward off the table  ( 1/(s - a)  <->  e^{a t} ):

  1/(s + 1) = 1/(s - (-1))  ->  e^{-t}
  1/(s + 2) = 1/(s - (-2))  ->  e^{-2 t}

  y(t) = e^{-t} + e^{-2 t}

Check:  y(0) = 1 + 1 = 2  (matches),  y'(0) = -1 - 2 = -3  (matches).

完整的求逆：用「遮蓋法」捷徑拆成表大小的若干塊，再把每一塊讀回為一個指數。底部那兩個驗算確認初始條件早已滿足——我們從未去解任何額外的常數。

退後一步，欣賞這條走完的路線。係數 A 與 B 是用遮蓋法得出的：要找壓在因式 (s + 1) 上的那個權重，就在除該因式自身之外的一切裡令 s = -1（那個能殺掉該因式的值），把數讀出來便是。隨後每一個乾淨的塊 1/(s - a) 都直接從你的變換對表裡被認成 e^{a t}，再由線性把各塊加回去。最終答案 y(t) = e^{-t} + e^{-2 t} 早已服從兩個初始條件——你可以驗，但不必驗，因為它們在第一步就被封了進去。

配方，以及每樣配料的用處

那個演算的例子是有意做得樸素的，好讓骨架透出來。這便是那骨架，用拉普拉斯變換求解初值問題的通用配方。它對任意階的線性常係數方程——二階、四階、隨便幾階——以及右端任何你寫得出其變換的驅動項 f(t)，都原封不動地奏效。

變換每一項。把 L 作用到兩邊，借線性逐項進行。每個導數都化作 s 的冪乘 Y(s)；導數法則把初值 y(0)、y'(0)、…… 自動落進方程。立刻代入已知的數。
解出 Y(s)。你現在有了一個再無導數的普通代數方程。兩邊同除以那個特徵多項式，把 Y(s) 單獨解出來——一個 s 的多項式之比，即 s 域裡的答案。
分解。把分母分解，用部分分式將 Y(s) 拆成若干簡單塊之和，一個因式一塊，尺寸正好對得上變換表裡的條目。
求逆並組裝。把每一塊反著從表裡讀成 t 的函數——指數、正弦、餘弦——再加起來。那個和 y(t) 就是唯一解，其初始條件已經對了。

有兩條精細之處要揣在兜裡，因為真實問題會拿它們砸你。當分母有一個*重*因式如 (s + 1)^2，分解需要在它之上放兩項，A/(s + 1) + B/(s + 1)^2；後者求逆得到的不是光禿禿的指數，而是 t e^{-t}，這恰恰就是重根如何在經典的阻尼振子故事裡造出一個「t 乘指數」。而當分母有一個在實數上不可分解的*不可約二次式*如 s^2 + omega^2，你不要硬把它掰開——你配方，把它對上正弦與餘弦那對，從而在 t 裡給出振盪。重根造出類似共振的增長；複根造出餘響。

什麼為真、假設了什麼、它到哪裡為止

值得誠實地說清楚它為何奏效、又到哪裡為止，好讓你出於正當的理由去信它。這方法的全部支點在於，那條導數法則是*線性*的、且心裡裝著*常係數*：它之所以能把 d/dt 乾淨地換成乘以 s，唯獨因為前頭的係數不依賴 t。一旦某個係數隨 t 變化——像 t y'' + y' = 0 這樣的方程——變換 t y'' 這類乘積，給出的就不再是乾淨的 s 的冪，而是一個*對 s 的導數*，那套俐落的代數便垮了。對真正非線性的方程，y^2 的變換並不是變換的平方，橋便整個塌掉。這是一件用於線性、常係數問題的精密儀器。

最後，看看你比起舊辦法究竟得到了什麼，因為這不止是一條捷徑。經典路線把一個受迫問題拆成一個齊次部分加一個特解部分，用待定係數去獵那個特解，再把一切與初始條件相調和——這是三項各別的本領。拉普拉斯配方把這一切熔成一條直線計算：驅動 f(t) 與初始數據一同騎進同一個變換後的方程，而單單一個 Y(s) 就已帶著固有響應與受迫響應兩者，配比正確。後面幾篇指南把這同一台機器延伸到「會開會關」或「作為瞬時衝擊襲來」的驅動——那正是經典方法真正變得痛苦、而變換依舊輕鬆自如的情形。