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約化公式與遞迴積分

面對 sin^10(x) 或 sec^5(x)，你不必硬磨——找出一條把冪降一或降二的規則，然後順著遞推一路下行，直到一個你能心算的基本情形。

一條規則勝過十次換元

設想有人要你求 sin^10(x) 的原函數。你可以搬出三角恒等式硬磨一下午——或者你可以注意到，這個積分並不孤單。它只是一個以整數 n 編號的無窮家族中的一員：sin^n(x) dx 的積分，n = 0, 1, 2, 3 一直往上。關鍵事實是這些成員彼此相連：指數為 n 的積分可以用指數更小的同類積分寫出來。[[reduction-formula|約化公式]]正是這條連線——一條每施用一次就把冪降一或降二的規則。

記 I_n 為 sin^n(x) dx 的積分。約化公式形如 I_n =（某個簡單式子）+（某分數）乘以 I_{n-2}。注意它做什麼、不做什麼：它並不直接把答案交給你——它只是把指標往下移。但移動足夠多次，你就落到一個基本情形 I_0 或 I_1 上，而它你早已爛熟於心。這種自指的風格——用自身更小的實例來定義某量——正是[[recursive-integration|遞迴積分]]的核心。它與數列中遞推關係的精神相同，只是這裡的項是一整個一整個的積分。

動力間：分部積分

約化公式從何而來？幾乎總是來自分部積分——你在本階梯前面已經見過的工具。回憶它的形狀：u dv 的積分等於 u v 減去 v du 的積分。技巧在於怎麼拆。要把冪降下來，你剝出一個因子去求導（求導數時這個因子的指數降一），把其餘的留著去積分。拆得巧，右邊剩下的積分恰是原家族中指數更小的那一員——你的遞推式就到手了。

範例：正弦的冪

取 I_n = sin^n(x) dx 的積分，把它拆成 sin^(n-1)(x) 乘 sin(x) dx。令 u = sin^(n-1)(x)，dv = sin(x) dx。則 du = (n-1) sin^(n-2)(x) cos(x) dx，v = -cos(x)。分部積分給出 I_n = -sin^(n-1)(x) cos(x) + (n-1) 乘以 sin^(n-2)(x) cos^2(x) dx 的積分。再用勾股恒等式 cos^2(x) = 1 - sin^2(x)：最後那個積分變成 (n-1)(I_{n-2} - I_n)。原來的 I_n 在右邊重新出現了——一個反覆出現的主題——於是你把它歸併。

歸併 I_n 的項：I_n + (n-1) I_n = -sin^(n-1)(x) cos(x) + (n-1) I_{n-2}，於是 n I_n = -sin^(n-1)(x) cos(x) + (n-1) I_{n-2}。兩邊除以 n，約化公式就出來了：I_n = -(1/n) sin^(n-1)(x) cos(x) + ((n-1)/n) I_{n-2}。每施用一次把冪降二。要算 sin^4(x)：I_4 用 I_2，I_2 用 I_0 = 1 dx 的積分 = x。三行短短的式子就完事——不必磨一下午恒等式。這就是處理任何三角函數的冪的標準機器。

如果把積分取成從 0 到 pi/2 的定積分，會有一個漂亮的回報。這時邊界項 sin^(n-1)(x) cos(x) 在兩端都為零，只剩下乾淨的遞推 I_n = ((n-1)/n) I_{n-2}。把它從一個大的 n 一路級聯下行到 I_0 = pi/2 或 I_1 = 1，就得到著名的求 pi 的沃利斯乘積——一個有力的跡象：一條樸素的約化公式能承載真正的結構，而不只是記賬。

範例：正割的冪

正割更刁鑽，因為最底下沒有一個友好的基本情形可積，而且拆法也不那麼明顯。對 J_n = sec^n(x) dx 的積分，把 sec^2(x) 剝出來作為要積分的部分（它積出來是 tan(x)），令 u = sec^(n-2)(x)。則 du = (n-2) sec^(n-2)(x) tan(x) dx，dv = sec^2(x) dx，v = tan(x)。分部積分給出 J_n = sec^(n-2)(x) tan(x) - (n-2) 乘以 sec^(n-2)(x) tan^2(x) dx 的積分。

現在用 tan^2(x) = sec^2(x) - 1，於是尾部的積分裂成 J_n - J_{n-2}。和前面一樣，J_n 在右邊回來了，歸併它。你得到 (n-1) J_n = sec^(n-2)(x) tan(x) + (n-2) J_{n-2}，因此 J_n = (1/(n-1)) sec^(n-2)(x) tan(x) + ((n-2)/(n-1)) J_{n-2}。冪又一次降二。它的基本情形比正弦高一層：J_2 = tan(x)，而 J_1 = sec(x) dx 的積分 = ln|sec(x) + tan(x)|——一個值得記住的小小標準結果，因為奇數冪的遞推會終止在那裡。

遞迴的兩種風味：逐級下行 vs. 自我閉合

現在看 x 乘 e^x——一個混合乘積。對 K_n = x^n e^x dx 的積分，可微分的因子是 x^n：取 u = x^n，dv = e^x dx，則 du = n x^(n-1) dx，v = e^x。分部積分給出 K_n = x^n e^x - n K_{n-1}。這一個更簡單：冪每次只降一，逐級下行 K_3 -> K_2 -> K_1 -> K_0 = e^x。例如 K_1 = x e^x dx 的積分 = x e^x - K_0 = x e^x - e^x = (x - 1) e^x。一旦 x 的指數降到零，遞迴就終止。

正弦、正割、x^n e^x 這幾個都向下逐級走到基本情形。但遞迴積分還有第二種風味，它從不下行：自我閉合的環。教科書例子是 e^x cos(x) dx 的積分。分部積分一次，你得到 e^x sin(x) 的積分；再分部一次，原來的 e^x cos(x) 積分帶著變號重新出現。記原積分為 L，你得到方程 L = e^x cos(x) + e^x sin(x) - L。這裡根本沒有基本情形——你直接解代數：2L = e^x (cos x + sin x)，於是 L = e^x (cos x + sin x) / 2。

I_n  = -(1/n) sin^(n-1)(x) cos(x)  + ((n-1)/n) I_{n-2}     base: I_0 = x,  I_1 = -cos(x)
J_n  =  (1/(n-1)) sec^(n-2)(x) tan(x) + ((n-2)/(n-1)) J_{n-2}  base: J_1 = ln|sec x + tan x|, J_2 = tan x
K_n  =  x^n e^x - n K_{n-1}                                   base: K_0 = e^x
L    =  integral e^x cos x dx  ->  L = e^x cos x + e^x sin x - L  ->  L = e^x(cos x + sin x)/2
三條逐級下行的遞推（把指標降到基本情形）和一條自我閉合的環（代數地解出）。

陷阱、基本情形，以及它通向何處

  1. 給家族命名：把積分記作 I_n，認出你要降低的那個整數指標。
  2. 為分部積分拆項，使你要攻擊其冪次的因子正是你去求導的那個。
  3. 施用分部積分，再用一個恒等式（如 cos^2 = 1 - sin^2）把原來的 I_n 哄回到右邊。
  4. 歸併 I_n 的項，代數地用 I_{n-1} 或 I_{n-2} 解出 I_n。
  5. 一路迭代到基本情形（I_0 或 I_1），代入它，再向上回填。

這種遞迴習慣遠不止用於這些例子。從 0 到 pi/2 的定 sin^n 積分，正是伽馬函數與貝塔函數以閉式打包的那類對象：B(p, q) = 2 乘以從 0 到 pi/2 的 (sin theta)^(2p-1) (cos theta)^(2q-1) d theta 的積分，其中 B(p, q) = Gamma(p) Gamma(q) / Gamma(p+q)。而用更早的項定義每一項這整套邏輯，正是你日後在本卷裡構造微分方程冪級數解時所倚靠的同一種遞推關係。約化公式是你對那個思想的第一次真正品嚐——遞迴作為一種方法，而不只是一個小把戲。