三角函數的冪與乘積；魏爾斯特拉斯換元

為什麼三角積分需要自己的一套工具

上一份指南用三角換元去掉了像 sqrt(a^2 - x^2) 這樣的根號。這一份正好是它的鏡像：現在你手裡已經是正弦和餘弦，目標是把它們積出來。像「integral of sin^4(x) cos^2(x) dx」這樣的積分看上去人畜無害，但盲目地做換元積分會卡住——sin 的導數是 cos，於是餘弦和正弦糾纏在一起，誰也消不掉。解決之道不靠靈機一動，而靠分類記帳：一小套三角冪的固定套路，幾乎能覆蓋所有情形。

幾乎所有的活兒都由兩組恆等式包辦。畢達哥拉斯恆等式 sin^2 + cos^2 = 1（以及它的近親 1 + tan^2 = sec^2、1 + cot^2 = csc^2）讓你在不同函數之間互相轉換；而倍角／降冪恆等式 cos^2(x) = (1 + cos 2x)/2 和 sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2 則讓你用一個關於 2x 的低次表達式去換掉一個平方。該在什麼時候、抓哪一個恆等式來用，正是全部的本領所在——而這取決於你的指數是奇數還是偶數。

正弦與餘弦的冪：奇數好辦，偶數要降冪

對於「integral of sin^m(x) cos^n(x) dx」，先看 m 和 n 的奇偶。只要有一個指數是奇數，你立刻就贏了：從那個奇次函數裡拆出一個因子去當 dx 的搭檔，再用 sin^2 + cos^2 = 1 把剩下的偶次冪改寫成另一個函數。比如「integral of sin^5(x) cos^2(x) dx」，把 sin^5 = sin^4 * sin = (1 - cos^2 x)^2 * sin x；接著令 u = cos x、du = -sin x dx，你要積的就是一個關於 u 的普通多項式——正是你在第一卷學過的那個換元，這次終於有了明確的目標。

如果兩個指數都是偶數，就沒有哪個因子能變成 du，於是改為「往下降冪」。用降冪恆等式把每個偶次冪減半，再統統乘開，你就得到一串關於 2x、4x…… 的餘弦之和——每一項都能一行積出來。「integral of sin^2 x dx」就變成「integral of (1 - cos 2x)/2 dx = x/2 - sin(2x)/4 + C」。更高的偶次冪只不過是把減半再做幾次；過程繁瑣，但從不困難。

正割與正切：另一種配對

正切—正割這一族遵循類似的規則，立足於兩個事實：tan x 的導數是 sec^2 x，而 sec x 的導數是 sec x tan x。所以對於「integral of tan^m(x) sec^n(x) dx」，若 sec 的冪為偶數（n 為偶且 n >= 2），就拆出 sec^2 x 當 du 搭檔，其餘部分用 sec^2 = 1 + tan^2 轉換，再令 u = tan x。若 tan 為奇次冪且至少帶一個 sec，就拆出 sec x tan x，把剩下的偶次 tan 轉換掉，再令 u = sec x。

那些尷尬的剩餘情形——帶奇次 tan 卻沒有 sec，或單獨一個奇次 sec——並不會乖乖讓位給乾淨的換元。「integral of sec x dx = ln|sec x + tan x| + C」是那個著名的技巧（同時乘除以 sec x + tan x，讓分子恰好成為分母的導數）；而「integral of sec^3 x dx」則是遞推公式或分部積分的教科書案例——正是下一份指南要搭建的那套遞推機器。能認出一道題屬於這個更難的角落，本身就是一種進步。

魏爾斯特拉斯換元：一招通吃

那像「integral of dx/(2 + cos x)」這種，既沒有冪可拆、又沒有因子可留的，又該怎麼辦？這時魏爾斯特拉斯換元——正切半角換元 t = tan(x/2)——就是一種真正的萬能溶劑。它的神奇之處在於：能把關於 sin x 與 cos x 的任意有理表達式，化成一個只關於單一代數變量 t 的有理函數，三角函數被一掃而空。接下來你就用上一份指南裡的主力工具收尾：對一個有理函數積分施以部分分式。

Let t = tan(x/2).  Then the three pieces become:

  sin x = 2t / (1 + t^2)
  cos x = (1 - t^2) / (1 + t^2)
  dx    = 2 / (1 + t^2) dt

Example:  integral of dx / (2 + cos x)
  2 + cos x = 2 + (1 - t^2)/(1 + t^2) = (3 + t^2)/(1 + t^2)
  integral becomes  integral of [2/(1+t^2)] * [(1+t^2)/(3+t^2)] dt
                  = integral of 2/(3 + t^2) dt
                  = (2/sqrt(3)) arctan(t/sqrt(3)) + C
  back-substitute t = tan(x/2):
                  = (2/sqrt(3)) arctan( tan(x/2)/sqrt(3) ) + C

三條半角公式，以及一個從頭到尾完整算完的積分例子。

這些公式從何而來？它們純粹是倍角公式的記帳結果。把 x = 2 * (x/2)，再用倍角恆等式：sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)，cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)；分子分母同除以 cos^2(x/2)，每一項就都變成 tan(x/2) = t，那個 1 + t^2 的分母正是由此而生。至於 dx，是因為 t = tan(x/2) 給出 dt/dx = (1/2) sec^2(x/2) = (1/2)(1 + t^2)，所以 dx = 2/(1 + t^2) dt。

操作步驟，以及它誠實的侷限

令 t = tan(x/2)，並寫下 dt = (1/2)(1 + t^2) dx，即 dx = 2/(1 + t^2) dt。
把每個 sin x 換成 2t/(1 + t^2)，每個 cos x 換成 (1 - t^2)/(1 + t^2)；被積函數就變成關於 t 的有理函數。
化簡並積出這個有理函數——通常用部分分式，有時一步 arctan 或對數即可。
再把 t = tan(x/2) 回代；若是定積分，則改為轉換上下限（x = 0 對應 t = 0，並要當心 x = pi 附近）。

退一步看，整片圖景其實是同一個連貫的想法：這裡的每一種方法，最終都把一個三角積分約化成你早已會做的初等對象——關於 u 的多項式、一串餘弦之和，或一個有理函數。這些原函數沒有一個是神秘的或非初等的；它們總以閉形式存在。你真正在錘鍊的是判斷力——一眼看出該扳哪根槓桿（奇偶、恆等式，還是半角），才能以最少的功夫打開眼前這道積分。