當簡單方法用盡時
你手裡已經有兩件好工具。換元積分是鏈式法則的逆操作——當被積函數裡藏著一個內層函數、而它的導數恰好也在場時，它就管用。分部積分是乘積法則的逆操作——當你能把一個難積分換成一個容易些的積分時，它最出彩。但有些被積函數對這兩招都無動於衷。最常見的兩塊絆腳石，一是像 sqrt(a^2 - x^2) 這樣頑固的根號，二是像 (3x + 5) / (x^2 - x - 2) 這樣的多項式之比。這篇指南分別給你應對它們的標準戰術。
貫穿其中的，正是你一直依賴的那條主線：把問題變成你認得的形狀。普通的換元只是把一個變量換成另一個，指望新積分更友好。這裡我們更大膽——要麼整個換成一個三角函數，要麼把一個分式拆開——但精神完全一樣：變形、積分、再翻譯回去。記住這「三拍」節奏，兩種方法就不再像魔法，而更像記賬。
三角換元：三種根號，三把鑰匙
三角換元建立在三條勾股恆等式上，每一條都是一把為特定根號量身打造的鑰匙。因為 1 - sin^2(theta) = cos^2(theta)，令 x = a sin(theta) 就把 sqrt(a^2 - x^2) 變成 a cos(theta)——根號化進一個乾淨的餘弦裡。因為 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta)，令 x = a tan(theta) 就把 sqrt(a^2 + x^2) 變成 a sec(theta)。又因為 sec^2(theta) - 1 = tan^2(theta)，令 x = a sec(theta) 就把 sqrt(x^2 - a^2) 變成 a tan(theta)。看一眼根號，就知道該抓哪個換元。
sqrt(a^2 - x^2) set x = a*sin(theta) -> root = a*cos(theta) sqrt(a^2 + x^2) set x = a*tan(theta) -> root = a*sec(theta) sqrt(x^2 - a^2) set x = a*sec(theta) -> root = a*tan(theta)
還有一處賬要記：換掉 x 時，也必須把 dx 換成它的微分。對 x = a sin(theta)，就是 dx = a cos(theta) d(theta)。兩者一起代入，整個積分就變成關於 theta 的問題——通常是正弦、餘弦或正割的可控組合，接著你就用下一篇關於三角函數冪次的技巧來收拾它。
走一遍——以及你必須盯住的符號
設想積分 1 / sqrt(4 - x^2) dx。根號 sqrt(4 - x^2) 對應第一種形狀，a = 2，於是令 x = 2 sin(theta)，得 dx = 2 cos(theta) d(theta)，根號 = 2 cos(theta)。積分塌縮成 (2 cos(theta) d(theta)) / (2 cos(theta))，也就是 d(theta) 的積分——等於 theta。現在翻譯回去。由 x = 2 sin(theta) 得 sin(theta) = x/2，故 theta = arcsin(x/2)。答案是 arcsin(x/2) + C，一個反函數恰好出現在幾何所預示的位置。
要把更繁的答案翻譯回 x，就畫出這次換元所編碼的直角三角形。由 sin(theta) = x/2，把對邊標為 x、斜邊標為 2；勾股定理填出鄰邊為 sqrt(4 - x^2)。這樣你需要的任何 theta 的三角函數——cos(theta)、tan(theta)、sec(theta)——都能直接從三角形上讀出來。這張小圖正是把每個關於 theta 的答案帶回原變量 x 的橋樑。
部分分式：拆開一個有理函數
現在是第二堵牆：多項式之比。部分分式分解正是「通分相加」的逆操作。你把一個糾纏在一起的分式，拆回若干更簡單分式之和，每一個的分母都是原分母的一個基本因子——而這些小塊你早就會積。這正是一般地對有理函數積分背後的引擎。
- 先看次數。若分子次數不低於分母，先做多項式長除法，把多項式商放到一邊（它平凡可積）。
- 把分母徹底分解成一次因子 (x - a) 和不可約二次因子 (x^2 + bx + c)。
- 每個因子寫一項：一次因子 (x - a) 給出 A/(x - a)；重根 (x - a)^2 還要加 B/(x - a)^2；不可約二次因子配一次分子 (Bx + C)/(x^2 + bx + c)。
- 解出待定常數——去分母後，要麼比較係數，要麼代入方便的 x 值——再把每一塊積成對數、反正切或冪函數。
看 (3x + 5) / (x^2 - x - 2)。分母分解為 (x - 2)(x + 1)，於是寫成 A/(x - 2) + B/(x + 1)。去分母得 3x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2)。代入 x = 2：11 = 3A，故 A = 11/3。代入 x = -1：2 = -3B，故 B = -2/3。積分現在就是 (11/3) ln|x - 2| - (2/3) ln|x + 1| + C——兩個普通對數，不需要任何花招。
選對武器——以及一個誠實的邊界
這個判斷大體靠眼力。一個二次形狀的根號（a^2 ± x^2 或 x^2 - a^2）在喊三角換元。一個沒有根號的多項式之比在喊部分分式。兩者甚至會配合：當根號裡的二次式不居中時，先配方——sqrt(x^2 + 4x + 13) 變成 sqrt((x + 2)^2 + 9)，再平移 u = x + 2，就交給你一個乾淨的 a^2 + u^2 形狀，正好用正切換元。
這裡藏著一個了不起的承諾。因為每個部分分式塊都積成對數、反正切或冪函數，所以每個有理函數都有初等原函數——沒有例外，也從不需要任何奇異東西。部分分式後面還會重現：拉普拉斯逆變換正是靠這種拆分，把傳遞函數拆成簡單項，逐項讀出。而對某些三角分式的被積函數，魏爾斯特拉斯換元 t = tan(theta/2) 能把整個東西變成 t 的有理函數——直接送進部分分式。