delta 根本不可能是一個函數
到現在為止，你已經自由地用著[[dirac-delta-function|狄拉克 delta]] delta(x)——把它當作拉普拉斯變換裡完美的脈衝，當作本級整座大廈所賴以建立的「單次尖銳戳擊」，其響應即格林函數。通常的漫畫是：delta(x) 除了在 x = 0 處之外處處為零，而在 x = 0 處它無窮大，可它的總面積卻恰好為一，於是從負無窮到正無窮的 delta(x) dx 的積分等於 1。停下來誠實地盯著這幅漫畫，因為它是不可能的。沒有任何真正的函數能做到這一點。一個除了一個孤立點外處處為零的函數，按任何合理的面積概念——你所知的定積分——其積分恰好是零。改動一個函數在單獨一點上的取值，根本無法使它的積分挪動分毫。
再說，「無窮大」本來就不是一個你被允許指派為函數值的數；你一旦寫下 delta(0) = 無窮大，就已經離開了函數的世界——函數在每一點都取普通的實數值。所以 delta 不是一個表現糟糕的函數——它壓根不是函數。有那麼一陣子，物理學家把它當函數來用，而且用得漂亮極了，這既可疑又奇妙。本篇指南的任務，就是找出 delta 真正所是的那個誠實對象，好讓你一直在用它做的一切，從「碰巧管用」變成「可被證明為正確」。
別問它等於什麼，要問它做什麼
下面是修好一切的那個概念性轉軸，值得放慢腳步。一個經典函數由它的取值來定義：遞給它一個點 x，它回給你一個數 f(x)。delta 沒有合理的取值，所以這條路封死了。但請注意我們在實踐中總是怎樣使用 delta——從不單用，總是放在對某個光滑、規矩的函數 f 的積分裡，而它唯一的活計就是伸進去、把一個值拈出來：delta(x) f(x) dx 的積分 = f(0)。delta 的全部身份都活在那個動作裡。於是我們做一個激進的動作：我們不再用取值、而用 delta 對它所遇見的函數做了什麼來重新定義它。我們一勞永逸地宣布：delta 就是這條規則——「餵我一個光滑函數 f，我把數 f(0) 還給你」。這條規則定義得完美無瑕、完全有限，且處處不牽涉任何無窮。
一個由它「如何作用於函數」來定義的對象——吃進一個函數、吐出一個數——叫做[[generalized-function|廣義函數]]，或稱分布。我們被允許餵給它的那些光滑函數叫做測試函數：把它們想成有禮貌、肯聽話的探針，規定為無窮可微、並在某個有界區域之外恆為零，這樣就永遠不會有邊界項來搗亂。於是一個廣義函數無非就是一條（線性、連續的）規則，給每個測試函數指派一個數。delta 是其中最簡單而有趣的一個：它的規則是「返回原點處的取值」。每個普通而合理的函數 g 也定義這樣一條規則——餵它 f，它返回誠實的 g(x) f(x) dx 的積分——所以舊的函數全都仍然住在這個新世界裡。這個新世界嚴格地更大，而 delta 正是它騰出地方來容納的新住客之一。
如何對一個沒有圖像的東西求導
新世界的回報在這裡壯觀地兌現。一旦一個廣義函數由它「如何作用於測試函數」來定義，我們就有權透過「決定它的導數應當如何作用」來定義它的導數——而恰好只有一種誠實的做法。取一個普通可微函數 g，把它的導數 g' 對一個測試函數 f 作積分。因為 f 在遠處恆為零，分部積分沒有邊界項，給出 g'(x) f(x) dx 的積分 = 負的 g(x) f'(x) dx 的積分。導數從 g 上跳下來、落到了 f 上，帶一個負號。現在把這個等式當作定義來讀：對任何廣義函數 T，它的導數 T' 就是這條規則——「T' 作用於 f 等於負的 T 作用於 f'」。由於測試函數 f 無窮光滑，f' 永遠存在，所以每一個廣義函數都可微——而且無窮多次。再沒有什麼東西會沒有導數了。
拿數學裡最有名的台階——[[heaviside-step-function|赫維賽德階躍]] H(x)——來檢驗一下，它在 x < 0 時為 0、x > 0 時為 1。經典地看，它在原點處有一道跳躍、在那裡壓根沒有導數。作為廣義函數，它的導數 H' 是這條規則——「H' 作用於 f = 負的 H 作用於 f' = 負的從 0 到無窮的 f'(x) dx 的積分」。由微積分基本定理，最後那個積分是 f(無窮) 減 f(0)，而 f 在遠處恆為零故 f(無窮) = 0，恰好剩下 +f(0)。但「返回 f(0)」正是 delta 自己的規則。所以 H' = delta，乾淨且可證。台階的斜率——經典微積分拒絕定義的東西——就是 delta，而現在這句話是一條定理、不是揮揮手矇混。這一個恆等式，就是你將遇到的每一道跳躍背後的引擎。
DERIVATIVE OF A DISTRIBUTION (move d/dx onto the test function, flip the sign)
< T' , f > := - < T , f' > for every smooth test function f
(no boundary term: f vanishes far away)
WORKED: the step function H (H = 0 for x<0, H = 1 for x>0)
< H' , f > = - < H , f' >
= - integral over all x of H(x) f'(x) dx
= - integral from 0 to infinity of f'(x) dx
= - [ f(infinity) - f(0) ]
= - [ 0 - f(0) ]
= + f(0)
= < delta , f >
==> H' = delta (and one more derivative: < delta' , f > = - f'(0) )delta 的家族：導數、平移與縮放
既然求導不再花費什麼，delta 便長出了一整個家族。它的一階導數 delta'，即偶極子，按我們剛導出的規則作用：delta' 作用於 f 等於負的 f'(0)。把它物理地想像成一對無窮靠近、方向相反的尖峰——一記小小的推緊接著一記同樣大小的拉，這正是你為一個理想化的點偶或偶極子建模的方式。二階導數 delta'' 返回 f''(0)，沿著這架梯子繼續往上；每一個新的導數都多探測測試函數在原點處行為的一個階。這些不是稀奇玩意兒——你一旦對一個帶折角的格林函數（大多數格林函數都帶折角）求導，delta' 與 delta'' 就立刻冒出來。
另有兩個操作讓你能在 delta 落到哪裡都對付得了。一個平移的 delta，delta(x 減 a)，只不過是在點 a 處、而非原點處對測試函數採樣：delta(x 減 a) f(x) dx 的積分 = f(a)。那正是坐落在位置 a 處的點源——你把它放在任何你想戳一下系統的地方的那個脈衝，整套格林函數構造的心臟。而一個縮放的 delta 服從 delta(c x) = delta(x) / |c|：把橫軸按因子 c 壓縮，會讓尖峰在唯一要緊的意義上——積分——變高 c 倍，因為面積必須保持為一。絕對值要緊——用負的 c 把坐標軸翻轉，並不會引入一個符號，因為面積是無符號的。這些規則不是要單獨記下的孤立事實；每一條都是「要求那條作用於測試函數的定義保持自洽」逼出來給你的。
為什麼這恰是格林函數所講的語言
本級裡的一切都悄悄依賴於我們剛搭起來的東西。一個格林函數 G(x, a) 被定義為對單位點源的響應，即 L G = delta(x 減 a) 的解，其中 L 是你的微分算子。那個方程在 delta 成為一個你能放到微分方程右端的正當對象之前，毫無意義——而廣義函數恰恰就是這樣一個對象。你用來手工搭出 G 的那條著名的跳躍條件——解連續，但它的導數在越過源點時跳變一個確定的量——無非就是把恆等式 H' = delta 倒著讀：右端的一個 delta 迫使最高階導數發生一個單位跳躍，因為「靠求導製造出一個 delta」唯一的辦法就是這個。你當作菜譜學下來的那套記賬，骨子裡就是廣義函數理論。
同樣的思想把一個偏微分方程的基本解提升為一個嚴格的對象——例如拉普拉斯算子的自由空間格林函數，在廣義函數的意義下滿足 nabla 平方 G = delta，儘管 G 自身在源處爆掉、在那裡當然不按經典方式二次可微。經典地看，那個方程在奇異點處是胡言亂語；而作為一句關於「兩邊如何作用於測試函數」的陳述，它精確無誤。這就是整套方法之所以管用的更深層緣由：一個廣義函數能解一個它逐點絕不可能滿足的微分方程，因為那些導數是在弱的、測試函數的意義下被詮釋的。delta 是讓「單次尖銳戳擊」成為正當輸入的東西，而格林函數則是那正當的輸出。
- 你遇到一個 delta 時，絕不要把它讀作一個函數值；把它讀作這條規則——「餵我一個光滑測試函數 f，我返回 f(0)」（對平移到 a 的 delta 則返回 f(a)）。
- 要對任何廣義函數求導，就把導數轉移到測試函數上並翻轉符號：T' 作用於 f 等於負的 T 作用於 f'。這總是行得通，因為測試函數無窮光滑。
- 使用主恆等式 H' = delta，在跳躍與 delta 之間來回換算——這恰恰是你手工構造格林函數時所施加的那條跳躍條件。
- 把 L G = delta(x 減 a) 讀作一句關於「在測試函數上的作用」的陳述，而非逐點取值；正是這一點，讓基本解與自由空間格林函數即便在 G 自身奇異之處也變得嚴格。