你早已認識的那座積分動物園
走到本級時，你已經收集了一整座積分的動物園，而它們看上去像是不同的野獸。有第一卷裡樸素的定積分，integral from a to b of f(x) dx。有做功的線積分，沿曲線 integral of F dot dr。有把密度積在某區域上的二重或三重積分。還有通量積分，穿過曲面 integral of F dot n dA。每一個都帶著自己的記號、自己的搭法、自己的一套公式動物譜。本級的頭一件事，就是看出它們其實根本不是不同的野獸。
看看每個積分在物理上做了什麼。算線積分，你把曲線切成一小段一小段有方向的線段，對每一小段配上一個數（這一步要花多少功）。算通量積分，你把曲面切成一小片一小片帶定向的面片，對每一片配上一個數（有多少流體穿過它）。算三重積分，你把立體切成一個個帶定向的小盒子，對每個盒子配上一個數（它裝著多少質量）。每一種情形裡，配方都一模一樣：把一小塊帶定向的空間遞給被積對象，拿回一個數，再把這些數加起來。被積對象就是一台「吃帶定向的小塊、吐數」的機器。
最簡單的形式：0-形式與 1-形式
從最底層開始。一個 [[differential-form|0-形式]] 就是一個普通的純量函數 f(x, y, z)——壓根沒有新東西。為什麼把函數叫作形式？因為它被積分的方式：一個 0-形式在 0 維區域、也就是單獨一個點上「積分」，而在一個點上積分就只是把函數在那裡求值。函數吃一個點、吐一個數。這是這個家族裡退化、最簡單的成員，它定下了模式：零階配零維。
現在來看頭一個真正嶄新的對象：[[one-form|1-形式]]。它在每一點上是一台微小的線性量尺，吃一個向量——一個步的方向與長度——吐出一個數。最乾淨的圖景是一座高度為 f 的山的等高線地圖。寫作 df 的 1-形式，就是那台裝置：你遞給它一步，它告訴你爬升了多少。等高線擠在一起處，每一步的爬升很大，於是 df 在那裡「密」；地勢平坦處，df 幾乎什麼都不還。用座標寫，一個 1-形式形如 P dx + Q dy + R dz：那些 dx、dy、dz 是基本量尺，分別報告你這一步向東、向北、向上走了多遠，而 P、Q、R 是每個方向各算幾分。
1-形式恰恰就是你沿曲線積分的東西。沿一條路徑對 P dx + Q dy + R dz 積分，就是你已經熟悉的第一卷線積分——而那個老記號 F dot dr 一直都是喬裝的 1-形式，其中 (P, Q, R) 就是 F 的分量。你曾歡歡喜喜拿來積分的那個 dr，其實從來不是一個你拿去點乘的向量；它是 dx、dy、dz 這三台量尺，正等著一個步。認出這一點，就把一條你背下來的公式，變成一個你能想像的對象：把曲線的步一個一個遞給它，讓 1-形式逐一量度，再加起來。
向上攀登：2-形式，以及成就面積的反對稱
1-形式量度的是一維的步。自然的下一問是：什麼來量度一片二維的面片——一小塊帶定向、有面積的平行四邊形？那就是 2-形式。它在每一點上是個裝置，吃兩個向量（一小片帶定向面片的兩條稜），吐出一個數：那片面片所代表的、由場加權的有符號面積。2-形式恰恰就是你在曲面上積分的對象，所以你在第一卷算的通量積分 F dot n dA，自始至終都是一個 2-形式，只是披著「向量與法向」的外衣。
要造 2-形式，我們需要一種把兩個 1-形式相乘、得出一台「面積量尺」的辦法。那個乘積叫楔積，用記號 dx ^ dy 寫出，它有一個定義性的怪癖：它是反對稱的，意思是 dx ^ dy = - dy ^ dx，因而 dx ^ dx = 0。這不是隨手定的規矩。把平行四邊形的兩條稜對調，它的定向就翻轉（順時針變逆時針），於是有符號面積必須變號——這恰恰就是平行四邊形面積的行列式法則，[a, b; c, d] 給出 ad - bc，它在你交換兩列時也變號。而兩條稜相同的「平行四邊形」被壓成一條線，面積為零，這便是 dx ^ dx = 0 的緣由。反對稱，不過是有向面積寫成了符號。
一般的對象：k-形式
現在可以把一般定義乾淨地說出來。一個 [[k-form|k-形式]] 是這樣一個裝置：它在每一點上吃 k 個切向量——一個微小、帶定向的 k 維盒子的 k 條稜——吐出一個數：那個盒子所代表的、由該點的場加權的有符號 k 維體積。它對每個輸入向量是線性的（把一條稜加倍，答案加倍），且是反對稱的（對調任意兩條稜，符號翻轉）。這兩條性質，就是「微分形式」的全部內容。用座標寫，一個 k-形式是若干基本片段之和，每個片段形如 dx_i ^ dx_j ^ ...（k 個因子楔在一起），各乘上一個普通函數。
反對稱有一個驚人的後果：在 n 維空間裡，你造不出階高於 n 的形式。三維中的 k-形式只在 k = 0, 1, 2, 3 時存在。原因是：任何含重複 dx 的楔積（如 dx ^ dx）都塌成零，而只有 n 個不同的座標微分，就沒法把多於 n 個楔在一起而不重複。所以在 R^3 中，頂階形式是 3-形式 dx ^ dy ^ dz——體積形式，你積它便得到普通體積，正是第一卷裡那個三重積分的 dV 頂著它真正的名字。在頂維之上，形式的世界就乾脆是空的。
FORMS IN R^3 -- one entry per dimension, each is what you integrate over that dimension
degree 0 f over a POINT (evaluate f) <- a scalar function
degree 1 P dx + Q dy + R dz over a CURVE (line integral) <- 3 components
degree 2 A dy^dz + B dz^dx + C dx^dy over a SURFACE (flux integral) <- 3 components
degree 3 g dx^dy^dz over a SOLID (triple integral) <- 1 component, the volume form
Component counts 1, 3, 3, 1 are the binomial coefficients C(3,k):
the number of ways to choose k distinct differentials out of {dx, dy, dz}.為什麼這門語言值得費這番功夫
你或許會合理地問：這些積分我本來就會算——幹嘛把什麼都改名？回報在於統一，而且回報巨大。一旦被積對象都是形式，就有一個唯一的算子 d，即外微分，它把一個 k-形式變成一個 (k+1)-形式。後面的指南會表明：d 作用在 0-形式上給出梯度，作用在 1-形式上給出旋度，作用在 2-形式上給出散度——向量微積分的三個算子，是同一個算子在三個階上的樣子。這就是梯度-旋度-散度詞典塌縮成一條規則，也正是本級存在的核心緣由。
而本級的招牌承諾——格林、斯托克斯與散度定理其實是喬裝的同一個定理——也由同一步推出。在形式的語言裡，三者都化為同一句話：d(omega) 在一個區域上的積分，等於 omega 在該區域邊界上的積分。一個算子，一個定理，所有維度一併搞定。那是終點；本篇只是放下了第一塊基石——把「被積的究竟是什麼對象」說清楚。
在你繼續之前，兩句誠實的提醒。其一，楔積 dx ^ dy 不是普通乘法；它是反對稱乘積，而忘掉 dx ^ dy = - dy ^ dx 是初學者最常犯的一個失誤——那些符號就是含義，絕不是可以丟掉的雜音。其二，「一個形式吃一個小盒子、還出它的加權體積」這幅畫是對的直覺，但精確的定義是在每一點上、作用於那裡的切向量；形式是逐點的「線性兼反對稱」的機器，而「小盒子」是「由輸入向量張成的平行六面體」的簡寫。把這幅畫握住，但要知道它是一幅畫。