本階最後一篇：收穫回報
在本階中你已經搭好了機器：解析函數是出奇地僵硬的，它的實部與虛部被柯西-黎曼方程牢牢鎖在一起，而對這樣的函數沿一條不包圍任何麻煩的閉迴路做圍道積分，結果恰好為零。現在我們把這一切兌現。主角是留數定理，它日常的活兒卻出奇地實用：它能算出難纏的實積分——就是那種讓換元法、分部積分和部分分式統統無計可施的積分。
回憶一下前幾篇的結論。一個除了孤立壞點之外處處解析的函數，在每個壞點 z0 附近都有一個洛朗級數——一種允許帶負次冪的泰勒級數：…… + a_{-2}/(z-z0)^2 + a_{-1}/(z-z0) + a_0 + a_1 (z-z0) + ……。其中 1/(z-z0) 這一項的那個係數 a_{-1} 被稱為 z0 處的留數，記作 Res(f, z0)。下面要講的全部，就是為什麼唯獨這一個數——留數——能在繞迴路積分時倖存下來。
為什麼只有留數倖存
整套理論都懸掛在這一個事實上。把簡單的冪 (z-z0)^n 沿以 z0 為心的小圓繞一圈積分，設 z = z0 + r e^{i theta}，theta 從 0 跑到 2 pi。代入並算下去，(z-z0)^n dz 的積分對每個整數 n 都為零——唯獨 n = -1 例外，此時它恰好等於 2 pi i。每一個普通的冪繞迴路都積成零；只有 1/(z-z0) 這一項留下了腳印，而這個腳印就是那個萬能常數 2 pi i。
現在把一個函數的洛朗級數鋪在那條迴路上，逐項積分。除了 a_{-1}/(z-z0) 這一項以外，每一項都化為零，而這一項貢獻 a_{-1} 乘以 2 pi i。於是繞一個孤立奇點的圍道積分等於 2 pi i 乘以那裡的留數——整條無窮級數裡其餘的一切都無關緊要。這其實就是從新角度看的柯西積分公式：那條公式已經告訴過你，單單一個係數就主宰著迴路積分，而留數正是這一想法的成熟版本。
不必求出整條洛朗級數也能算留數
你幾乎從不需要整條洛朗級數來取得 a_{-1}；那樣做就違背了初衷。壞點的種類在此很關鍵——回憶奇點的分類，極點是友好的情形，此時 f 像某個有限階 m 的 1/(z-z0)^m 那樣爆掉。對一階（單）極點，留數就是 z 趨於 z0 時 (z-z0) f(z) 的極限。對更高階的極點，則先求導：把 (z-z0)^m f(z) 求 (m-1) 次導數，再取極限，並除以 (m-1) 的階乘。
Residue at a pole z0 of order m:
Res(f, z0) = 1/(m-1)! * lim_{z->z0} d^{m-1}/dz^{m-1} [ (z-z0)^m f(z) ]
Simple pole (m = 1): Res(f, z0) = lim_{z->z0} (z-z0) f(z)
For f = g/h with g(z0) != 0 and h a simple zero:
Res(f, z0) = g(z0) / h'(z0)要誠實面對這份舒適的邊界。極點是溫順的，但本性奇點（比如 e^{1/z} 在原點）的洛朗級數帶有無窮多個負次冪，根本沒有有限公式——你必須真的從級數裡讀出 a_{-1}。而且這些留數公式都預設了奇點是孤立的；複對數或平方根的支點是另一種怪獸，被一條支割線圍隔起來，迴路必須畫得尊重這條割線，而不能穿過它。
閉合圍道：實積分應聲而落
這就是計算實積分核心處的魔術。假設你想求一個沿整條實數軸的定積分，比如從負無窮到正無窮的 1/(1 + x^2) dx。實數軸是一條敞開的路，不是迴路——所以我們把它閉合。補上一段半徑為 R 的巨大半圓，從上半平面拱回起點。現在你有了一條真正的閉圍道，包圍著上半平面裡的奇點，於是留數定理對整條迴路成立。
- 把 1/(1+x^2) 延拓為複函數 1/(1+z^2)。把分母分解：1 + z^2 = (z - i)(z + i)，於是極點位於 z = i 與 z = -i。
- 向上閉合。圍道（實軸加上半圓）只包圍 z = i。位於下方、在外部的極點 z = -i 不作任何貢獻。
- 單極點 z = i 處的留數：用 g 比 h 的導數，g = 1，h = 1 + z^2，h 的導數 = 2z，得到 1/(2i)。
- 證明大半圓消失：在它上面 |f| 以 1/R^2 縮小，而其長度以 R 增長，故當 R 趨於無窮時它的貢獻歸零。剩下的恰好就是那個實積分。
- 匯總：迴路積分 = 2 pi i * (1/(2i)) = pi。既然半圓沒貢獻，實積分就等於 pi。完成——全程沒寫過一個原函數。
停下來想想剛發生了什麼。這個特定答案你可以手算驗證——1/(1+x^2) 的原函數是反正切，反正切從 -pi/2 跑到 pi/2，得 pi。要點在於圍道法壓根沒用到那個原函數，而且當根本不存在初等原函數時它照樣奏效。踏入複平面去結算一個實積分是完全正當的方法，不是花招：實數答案本來就是實的，我們只是繞了一條風景優美的路抵達它。
振盪被積函數與無窮級數求和
這套技巧遠不止於有理函數。對帶有振盪的積分，比如 cos(x)/(1+x^2) 在實數軸上的積分，你把 cos(x) 寫成 e^{ix} 的實部，轉而積分 e^{iz}/(1+z^2)。指數在上半平面衰減——這就是約當引理——正是它讓閉合弧消失，哪怕被積函數衰減得很慢。再次取 z = i 處的留數，答案 pi/e 就掉了出來。這正是你在本卷前面遇到的傅立葉變換對和拉普拉斯變換背後的引擎。
留數甚至能給無窮級數求和。函數 pi cot(pi z) 在每個整數 n 處都有一個單極點，留數皆為 1。把它乘上一個性質良好的 g(z)，沿一個吞掉所有整數的巨大方框積分；方框越長越大，迴路積分趨於零，於是所有留數之總和必為零。整數處的留數重現 g(n) 之和，g 自身極點處的留數則重現閉合形式。這正是如何證明 n 從 1 到無窮的 1/n^2 之和等於 pi^2/6——這個值也與 黎曼 zeta 函數在 2 處的取值相繫。
再看一眼：保形映射與勢問題
留數並非解析性贈予的唯一禮物。由於解析函數在局部就是一次旋轉加伸縮，它保持曲線之間的夾角——它是一個保形映射。這不只是漂亮的幾何：任何解析函數的實部與虛部各自都是一個調和函數，意味著它們滿足拉普拉斯方程——穩態熱傳導、靜電學與理想流體流動的主方程，也就是你在本卷前面學過的拉普拉斯方程。
這裡是工程上的回報。在一個古怪的形狀上直接解拉普拉斯方程——繞翼型的流動、尖角附近的場——是很難的。但一個保形映射能把那塊彆扭的區域彎成一塊整潔的（一個圓盤或半平面），在那裡解一目了然；又因為調和性在映射下得以保留，你可以把簡易解搬回去，在原來的形狀上讀出答案。留數定理與保形映射正是解析性的兩大紅利：前者算出實分析無能為力的積分，後者解出實幾何弄得醜陋不堪的邊值問題。