泰勒級數走到盡頭的地方
到現在你已經知道，解析函數——即在某區域上複可微的函數——是極其剛性的：在任一內點附近它等於自己的泰勒級數，也就是你在第一卷裡初次見到的非負冪次 (z - z0)^n 之和。但泰勒級數是個樂天派。它只會描述在 z0 處規規矩矩的函數；對於一個函數爆破的點，它毫無詞彙。考慮 f(z) = 1/z 在 z0 = 0 附近：根本不存在任何誠實的冪級數 a0 + a1 z + a2 z^2 + ... 等於 1/z，因為這樣的級數在 0 處始終有限，而 1/z 卻奔向無窮。
補救之道出奇地簡單：也允許負冪次。關於 z0 的 勞朗級數 是一個雙向求和，... + a_{-2}/(z - z0)^2 + a_{-1}/(z - z0) + a_0 + a_1 (z - z0) + a_2 (z - z0)^2 + ...，n 取遍從負無窮到正無窮的所有整數。其中 n 為負的部分——稱為 主部——正是能描述爆破的新詞彙。對 1/z 而言，整個勞朗級數就只有一項 1/z。勞朗級數 是函數在一個環（圓環域）上的正確局部圖像，這個環圍住一個壞點卻不包含它。
奇點的三種風味
孤立奇點是這樣一個點 z0：f 在該處不解析，但在它周圍的去心鄰域上 f 確實解析。主部的形態恰好把它們分成三類——這就是奇點的分類。若主部為空（完全沒有負冪次），該奇點是 可去 的：函數只是看起來壞了，補上一個值即可填平這個洞。經典例子是 sin(z)/z 在 z0 = 0 處，其勞朗級數 1 - z^2/6 + z^4/120 - ... 沒有負冪次，於是在那裡把值定義為 1 就使它變得完全解析。
若主部只有有限多項——它在某個 1/(z - z0)^m 處終止，且 a_{-m} 不為零——則該奇點是 m 階極點。這裡 f 確實跑向無窮，但是以一種受控的、多項式式的方式：乘以 (z - z0)^m 就把它收拾回一個規規矩矩的解析函數。一階極點稱為 單極點；1/z 有一個單極點，而 1/z^3 有一個三階極點。極點是友善的奇點——應用複分析中幾乎一切有用的事都發生在極點處。
而若主部永不終止——有無窮多個負冪次——則該奇點是 本性奇點，函數行為狂野。頭號例子是 e^{1/z} 在 z0 = 0 處，其勞朗級數 1 + 1/z + 1/(2! z^2) + 1/(3! z^3) + ... 有一個無盡的主部。皮卡定理說，在本性奇點附近，f 在你所選的任意小環內都無窮多次取遍每一個複值（至多有一個例外）。這些可不友善，我們大多繞道而行。
唯一要緊的係數：留數
在所有勞朗係數中，有一個是王者：a_{-1}，即 1/(z - z0) 的係數。它被稱為 f 在 z0 處的 留數，記作 Res(f, z0)。為什麼是它而不是別的？因為你在前幾篇裡已隱約見到的一個小小奇蹟。若把 (z - z0)^n 沿一個包住 z0 的小圓繞一圈積分，對每一個整數冪 n 答案都是零，唯獨 n = -1 時它等於 2 pi i。於是當你把整條勞朗級數逐項沿奇點積分時，除了 1/(z - z0) 這一項外每一項都消為烏有——而倖存下來的恰好是 2 pi i 乘以 a_{-1}。
所以留數幾乎是被設計成這樣：它正是圍道積分真正能感知到的那部分函數。奇點周圍其餘一切都積分為零；留數是那不可約去的殘餘，是極點透過任何環繞它的迴路推出的「通量」。這正是把一個局部代數事實——單個勞朗係數——轉化為關於積分的全局陳述的橋樑，也是下一篇將要收穫的留數定理的種子。
Simple pole at z0: Res(f, z0) = lim_{z->z0} (z - z0) f(z)
Order-m pole at z0: Res(f, z0) = 1/(m-1)! * lim_{z->z0} d^{m-1}/dz^{m-1} [ (z - z0)^m f(z) ]
Quotient g/h, simple pole where h(z0)=0, h'(z0)!=0:
Res(g/h, z0) = g(z0) / h'(z0)從函數讀出留數
你很少靠寫出整條勞朗級數來計算留數——那是慢路。取而代之，你用能直接抽出 a_{-1} 的捷徑。對於單極點，乘掉極點再取極限：Res(f, z0) = z 趨於 z0 時 (z - z0) f(z) 的極限。這一次乘法剝去那唯一的 1/(z - z0) 並顯出它的係數。這把戲依靠的正是第一卷裡導數那套極限機器，只是搬進了複平面。
- 找出奇點及其階數。分解分母；若 (z - z0) 以一次冪出現且分子在該處不為零，則為單極點。
- 做一個單極點：取 f(z) = e^z / (z^2 + 1)。分母分解為 (z - i)(z + i)，故 z0 = i 是單極點。相乘：(z - i) f(z) = e^z / (z + i)。
- 取極限 z -> i：Res(f, i) = e^i / (2i)。這就是整個留數——一個概括 i 處極點的複數。
- 對於 m 階的高階極點，改為求導 m-1 次：Res(f, z0) = 1/(m-1)! 乘以 (z - z0)^m f(z) 的第 (m-1) 階導數的極限。乾淨的冪次 (z - z0)^m 消去極點；求導則挖到 a_{-1} 那一層。
當 f 是商 g(z)/h(z) 且 h 在 z0 處有單零點（即 h(z0) = 0 但 h'(z0) 不為零）時，有一個更俐落的公式：Res(g/h, z0) = g(z0) / h'(z0)。在上面的例子裡，g = e^z，h = z^2 + 1，h'(z) = 2z，立刻給出 e^i / (2i)——無需分解因式。這條捷徑是你早先遇到的柯西積分公式的直系親屬，它早已教過你：函數在迴路上的值掌控著內部的一切。
為何重要，以及誠實的附註
在意它的理由極其實用：留數讓你算出那些抵禦一切實變量方法的實積分。許多從 0 到無窮的定積分——那種沒有初等原函數的——一旦你把路徑閉合成圍道並把內部的留數相加，就瞬間瓦解。這正是後面實積分的計算技術的全部要點。走進複平面去攻克一個實問題不是作弊也不是花招；它是一套完全嚴格的方法，而留數就是讓它運轉的齒輪。
幾條誠實的告誡。其一，上面的留數公式只適用於極點——本性奇點也有留數（它仍是 a_{-1}），但極限與求導的捷徑不管用；你必須從真正的勞朗展開裡把那個係數挖出來。其二，把階數搞對：對一個二階極點套用單極點公式會不聲不響地給出錯誤的數。其三，留數說的是 孤立 奇點。一個支點——比如複對數在 0 處的那個——不是孤立的，沒有勞朗級數，在此意義下也沒有留數；它需要支割線和完全不同的工具。
退後一步，看清這個想法的形狀。勞朗級數把冪級數的鏡頭恰好拓寬到足以正對函數破裂之處去觀察；主部是關於它 如何 破裂的精確野外指南；而留數把那破裂提煉成一個積分能讀取的數。手握於此，你已準備好迎接留數定理——把一個迴路內的留數相加，乘以 2 pi i，你便得到那個積分——這是應用數學家工具箱裡最俐落的工具。