沿圍道積分意味著什麼
在第一卷裡，定積分意味著讓 x 沿實軸從 a 掃到 b。在複平面中並不存在唯一的「從左到右」——要把函數 f(z) 累加起來，我們必須先選定一條圍道，即一條穿過平面、帶方向的路徑 C，然後沿它積分。圍道積分寫作 C 上 f(z) dz 的積分，並且像多元微積分中的線積分一樣，它的值可能依賴於你所走的路徑，而不僅僅依賴於端點。
具體地說，你把路徑參數化為 z(t)（t 從 a 到 b），於是 dz = z'(t) dt，圍道積分就變成一個普通的實積分：從 a 到 b 的 f(z(t)) z'(t) dt 的積分。設想逆時針沿單位圓行走，記作 z(t) = e^{i t}（t 從 0 到 2 pi）；此時 dz = i e^{i t} dt，你正在把一個個微小的複數步長 i e^{i t} dt 累加起來，每一步都以 f 加權。整套機制把複積分化歸為你早已會處理的參數化。
柯西定理：歸零的迴路
這就是本主題的第一個奇蹟。如果 f 在一條簡單閉圍道 C 上及其內部處處解析（複可微），那麼 f(z) dz 繞 C 的積分等於零。這便是柯西積分定理。無論迴路多麼蜿蜒，一個解析函數在你回到起點之後都不會留下任何淨值。
為什麼會這樣？把 f(z) = u + i v、dz = dx + i dy 拆開，單個複積分就化成兩個實線積分。對每一個用格林定理，所出現的被積式恰好就是柯西-黎曼方程：du/dx = dv/dy 且 du/dy = -dv/dx。解析性使兩個二重積分都恆等於零。所以柯西定理其實就是披著積分外衣的柯西-黎曼條件——它是保守場的複平面表親，在那裡梯度的環路積分也為零。
像橡皮筋一樣形變圍道
柯西定理有一個極其有用的推論：在 f 解析的區域內，只要你不把圍道拖過任何奇點，你就可以自由地滑動並拉伸它而不改變積分值。端點相同的兩條路徑給出相同的答案；一條閉合迴路可以隨意收縮、外凸或改形。這就是路徑形變，也是工作中的分析者的超能力——你把一條醜陋的圍道換成方便的圓或直線，而其值保持不變。
當一個奇點確實被困在內部時，形變告訴你整個迴路積分等於繞那個壞點的一個微小圓的積分——所有有趣的內容都匯集在那裡。這一個想法正是留數定理的種子，我們將在下一篇導引中利用洛朗級數讀取每個奇點處殘留的係數來展開它。
C (big loop) deform inward
.--------------. .--------------.
/ \ / ___ \
| * z0 | ==> | / \ C0 | loop integral on C
| (singularity) | | | *z0 | | = small loop on C0
\ / \ \___/ / (the rest is analytic)
'--------------' '--------------'柯西積分公式：邊界知曉一切
現在是第二個、甚至更令人震驚的結果。如果 f 在閉圍道 C 上及其內部解析，而 z0 是內部任意一點，那麼 f 在 z0 處的值完全由 f 在邊界上的取值恢復出來：f(z0) = (1/(2 pi i)) 乘以 f(z)/(z - z0) dz 繞 C 的積分。這就是柯西積分公式。迴路邊沿上的取值完全決定了每個內部點的值——內部被邊緣所挾持。
其推導恰恰就是形變技巧。在 C 上，被積式 f(z)/(z - z0) 除 z0 外皆解析，於是把迴路收縮為以 z0 為心、半徑 r 的微小圓：z = z0 + r e^{i theta}。在該圓上 dz = i r e^{i theta} d theta 且 z - z0 = r e^{i theta}，於是 r 相消，積分變成從 0 到 2 pi 的 i f(z0 + r e^{i theta}) d theta 的積分。令 r 趨於零；由連續性 f 趨於 f(z0)，於是剩下 i f(z0) 乘以 2 pi，再除以 2 pi i 即得該公式。
對 z0 在積分號下求導，同樣給出每一階導數的公式：f^{(n)}(z0) = (n!/(2 pi i)) 乘以 f(z)/(z - z0)^{n+1} dz 繞 C 的積分。一個不動聲色的推論意味深長：解析函數自動無窮次可微，並等於它自己的泰勒級數，這種剛性在實數世界裡毫無對應，在那裡一次可微對二階導數不作任何承諾。
一步步算一個具體迴路
讓我們計算 (e^z)/(z - 0.5) dz 繞單位圓的積分。被積式只有一個壞點 z0 = 0.5，它落在單位圓內部，而分子 e^z 處處解析。這恰好為以 f(z) = e^z 應用該公式而量身定做。
- 找出極點：分母在 z0 = 0.5 處為零，由於其模 0.5 小於 1，該極點位於單位圓內部。很好——公式適用。
- 套用模式：把被積式寫成 f(z)/(z - z0)，其中 f(z) = e^z（在內部解析），z0 = 0.5。
- 應用柯西積分公式：f(z)/(z - z0) dz 繞 C 的積分 = 2 pi i 乘以 f(z0) = 2 pi i 乘以 e^{0.5}。
- 得出答案：迴路積分等於 2 pi i 乘以 sqrt(e)，約為 3.30 乘以 2 pi i。我們從未對任何東西求原函數——是 e^z 在極點處的邊界值完成了全部工作。
請留意驅動整個應用複分析的這種分工。如果圍道不包含任何奇點，柯西定理立刻給你零。如果它恰好包含一個奇點，柯西積分公式直接從邊界值讀出答案。而當存在多個極點或更糟的奇點時，這兩個結果便合併為留數定理與實積分的求值——在複平面中閉合一條圍道以攻破一個頑固的實定積分，是一種完全正當的方法，並非花招或作弊。