指數忠誠，逆運算卻不然
回憶第一卷：實對數是 e^x 的反函數，每個正數恰好有一個對數。到了複平面，這種乾淨的一一對應就崩塌了。複指數 e^z 是週期的——歐拉公式給出 e^{i theta} = cos theta + i sin theta，給 theta 加上 2 pi 又回到同一點。於是 e^z 與 e^{z + 2 pi i} 相等。任何想要還原 e^z 的函數因此都無法鎖定唯一答案。
把一個非零複數寫成極座標形式 z = r e^{i theta}，其中 r = |z| 是它的模，theta 是它的輻角（角度）。於是複對數為 log z = ln r + i theta，這裡 ln r 不過是正數 r 的普通實對數。麻煩出在 theta：z 的角度只能確定到相差 2 pi 的整數倍。所以誠實的公式是 log z = ln|z| + i(theta + 2 pi k)，對每個整數 k 都成立。
繞一圈，你便登上一級台階
想像你站在 z = 1 處，一個自然的選擇給出 log 1 = 0。現在沿單位圓緩緩逆時針行走，讓角度 theta 連續增大。當你繞了一整圈回到 z = 1 時，角度已從 0 升到 2 pi——於是對數也從 0 爬到了 2 pi i。你回到了平面上的同一點，函數值卻不同。再繞一圈，又升高 2 pi i。
這一切纏繞的樞軸是原點。一個你必須繞行才能累積角度的點，稱為支點——對對數而言就是 z = 0。（在精確意義上，無窮遠也是一個支點。）支點正是多值性誕生之處：繞它一圈，函數便回不到舊值。繞一個非支點的點，則一切如故。
割開平面以選定一支
為了得到一個誠實的單值函數，我們做個約定：禁止那些惹麻煩的迴路。從支點畫一條延伸到無窮遠的曲線，宣布它為禁區——不許越過。這條被禁的曲線就是支割線，而對數的支割線通常取負實軸。有了這道屏障，你便永遠無法繞過原點，角度 theta 也就不會再漂移；把它固定在一個區間，比如 -pi < theta <= pi，就在處處選定了一個自洽的值。
這一特定選擇——模乘以落在 (-pi, pi] 的角度——稱為主支，記作 Log z（大寫 L）或主對數。在它上面，Log z 在割線之外是一個完美的解析函數：其導數為人們熟悉的 d/dz Log z = 1/z，與第一卷完全一致，並且除割線外處處滿足柯西-黎曼方程。割線並非對數本身的特徵——它是你所選那一片的特徵。改把割線放在正虛軸上，你便得到同樣有效（但不同）的單值支。
割線讓你付出什麼代價？穿越它的連續性。從負實軸上某點的正上方逼近，Log z 的虛部接近 +pi；從正下方逼近，則接近 -pi。當你跨越時，函數突跳 2 pi i——正好是樓梯整整一圈的不連續。這個跳躍是真實的，你必須尊重它：絕不要讓積分路徑彷彿無事般跨過支割線。
複冪，以及 i^i 究竟是什麼
一旦有了對數，你就有了一切冪，因為每個冪都透過它來定義：z^a = e^{a log z}，對任意複指數 a 成立。既然 log z 是多值的，z^a 一般也是多值的。這正是為什麼複冪同樣帶有支點、需要支割線。選取主對數便給出冪的主值——計算器返回的那個——但它只是眾多選擇之一。
現在來看那個著名謎題。取 z = i，它的模為 1、角度為 pi/2，故 log i = i(pi/2 + 2 pi k)。於是 i^i = e^{i log i} = e^{i 乘以 i(pi/2 + 2 pi k)} = e^{-(pi/2 + 2 pi k)}。每個值都是正實數！主值（k = 0）為 e^{-pi/2}，約 0.2079。所以 i 的 i 次冪既不虛、也不神秘——它是個實數，而這驚奇完全由定義中暗藏的對數多值性所解釋。
z = r e^{i theta}
log z = ln r + i (theta + 2 pi k), k = 0, +-1, +-2, ...
Log z = ln r + i theta, -pi < theta <= pi (principal)
z^a = e^{a log z}
i^i = e^{i log i} = e^{-(pi/2 + 2 pi k)} -> principal e^{-pi/2} ~ 0.2079
sqrt(z) = z^{1/2}: two values, opposite signs (branch point at 0)一個俐落的檢驗：平方根 sqrt(z) = z^{1/2} 恰有兩個值（k = 0, 1 時 e^{i pi k} 給出兩個相反的符號），與你在第一卷已知的兩個根吻合。它的支點仍是 z = 0，沿負實軸作割可使其單值。有理指數 p/q 給出 q 個值；無理或真正複的指數（如 i）則給出無窮多個。
讓分支派上用場
支割線不是要道歉的累贅——它是工具。複方法的全部威力——前一篇關於留數定理的指南所搭建的——都依賴於沿精心選定的圍道對解析函數積分；但這些函數只在你固定的某一支上解析。所以圍道必須繞行以尊重割線。標準技法是鑰匙孔圍道：一條路徑沿割線一側進入，繞支點畫一個小圓，再沿另一側返回。
它為何划算？因為函數跨越割線時跳躍一個已知的量，沿割線上緣的積分與沿下緣的積分並不抵消——它們合成你真正想要的那個實積分的一個乾淨倍數。再用留數定理圈住所圍的極點，便算出整條迴路，稍加代數即得到一個任何初等實方法都束手無策的實積分——比如 x^{a-1}/(1+x) 從 0 到無窮的定積分，結果竟是 pi / sin(pi a)。
- 找出被積函數的支點（對數或非整數冪所在之處），並選一條割線使你的區域保持單連通。
- 構造一條緊貼割線兩側、並以小圓繞過支點的圍道——一個鑰匙孔。
- 利用跨越割線的已知跳躍，把上下兩段與你的目標實積分聯繫起來。
- 對所圍極點的留數求和，驗證小弧與大弧趨於零，再解出實積分。
一個誠實的提醒。把一個實問題引經複平面、穿越支割線，是一種完全正當的方法，不是花招也不是作弊——每一步都由解析性與所選分支的幾何所證成。但它對記帳錯誤毫不留情：割線選錯、忘了 2 pi i 的跳躍、或某條弧未能趨零，答案便會悄無聲息地出錯。這份紀律換來的回報，正是圍道積分在本級一路許諾的那個——並繼續延伸到洛朗級數、輻角原理，以及多葉區域的共形映射。