結構與可解釋性：切換、庫普曼與 SINDy

切換動力學：SLDS 與 rSLDS

行為往往是分段的：先伸手、再握持；先探索、再決斷。切換線性動力系統（SLDS）捕捉這一點的方式，是讓一個離散的潛在狀態去選擇每個時刻由數個簡單線性動力學中的哪一個生效。其結果是一個由局部線性、人類可讀之機制組裝而成的、全局非線性的模型 — 你真的可以為這些狀態命名。循環 SLDS（rSLDS）更進一步，讓連續狀態本身去影響切換何時發生，把狀態空間切割成動力上截然不同的區域。

z_{t} \sim \mathrm{Markov}(\pi),\qquad x_{t+1} = A_{z_{t}}\,x_{t} + b_{z_{t}} + w_{t},\qquad y_{t}\sim p(\cdot\mid x_{t})

一個 SLDS：離散機制 zₜ 以馬可夫鏈演化，並索引由哪一組線性動力學（A、b）主宰連續狀態 xₜ。簡單、可命名的片段組合出豐富的全局行為。

庫普曼與 DMD：重獲線性

對於直接正面建模非線性，有一個深刻而出人意料的替代方案。庫普曼算子理論說：別去動那個非線性系統，而是把它提升到一個更豐富的可觀測函數空間，在那裡它的演化變得完全線性 — 代價是那個空間是無窮維的。實務上，你學出一組有限的可觀測函數，以及作用其上的一個線性算子；動態模態分解（DMD）正是估計它的資料驅動主力，會給出帶有乾淨頻率與增長率的模態。

(\mathcal{K}\,g)(x) = g\!\bigl(F(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad g\!\bigl(x_{t+1}\bigr) = (\mathcal{K}\,g)\!\bigl(x_{t}\bigr)

庫普曼算子 𝒦 以線性方式推進狀態的可觀測函數 g，即使底層的流 F 是非線性的。它的特徵函數給出協調的時空模態 — 其吸引力在於對非線性動力學握有一個線性代數的把手。

SINDy：還原方程式

最有野心的可解釋方法，試圖直接寫下主宰方程式本身。非線性動力學的稀疏辨識（SINDy）建立一個龐大的候選項函式庫 — 多項式、正弦函數 — 由狀態構成，並求解一個稀疏迴歸，找出真正能預測導數的少數幾項。當它奏效時，輸出的不是一個權重張量，而是一組簡短、可讀的常微分方程。其代價卻很嚴苛：它需要對狀態及其導數的乾淨估計，而真正的法則必須落在你所選的函式庫之中。

\dot{X} = \Theta(X)\,\Xi, \qquad \hat{\Xi} = \arg\min_{\Xi}\; \bigl\lVert \dot{X} - \Theta(X)\,\Xi \bigr\rVert_{2}^{2} + \lambda\,\lVert \Xi \rVert_{1}

SINDy：Θ(X) 是一個由狀態構成的候選函數函式庫；ℓ₁ 懲罰迫使係數矩陣 Ξ 稀疏化，使得只有少數幾項存活，成為一條可解釋的運動方程。

把結構讀回來

即使面對一個黑盒子循環網路，你也並非束手無策。固定點分析以數值方式定位那些學到的流消失的狀態，並在它們周圍做線性化，揭示這個網路用來運算的吸子、線吸子與鞍點 — 舉例來說，一個決策往往表現為一個分隔兩個穩定選項的鞍點。結合旋轉（jPCA）結構與軌跡糾纏原理，這些工具讓你能從一個原本不透明的模型中萃取出機制。