當線性高斯失效
有三件事會打破卡爾曼濾波器的假設：非線性調諧（放電並非狀態的線性函數）、非高斯雜訊（卜瓦松脈衝、重尾、假影），以及多峰後驗（同時有兩個合理動作）。有三個濾波器家族以遞增的計算成本鬆綁這些假設：擴展、無跡與粒子濾波器。
EKF 與 UKF
擴展卡爾曼濾波器保留高斯機制，但在當前估計點附近把非線性觀測函數 h(\cdot) 線性化，以其雅可比矩陣作為局部的 C。它便宜、且在非線性溫和時可行，但當估計遠離真值時，線性化可能發散。
\hat{x}_k = \hat{x}_k^{-} + K_k\big(y_k - h(\hat{x}_k^{-})\big), \qquad C_k = \left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{\hat{x}_k^{-}}EKF：以真實觀測函數在預測點取值的雅可比矩陣，取代線性的 C。
當神經與狀態的關係是彎曲的，普通卡爾曼濾波就失靈了。EKF 靠線性化來補救——用真實函數在當前最佳猜測處的局部斜率（雅可比）取代固定的 C。
- h(\cdot)
- 真實的非線性觀測函數。
- \hat{x}_k^{-}
- 預測狀態，作為線性化的展開點。
- C_k
- 雅可比——h 在預測點的局部斜率。
- K_k
- 卡爾曼增益，現在由 C_k 構成。
這就是擴展卡爾曼濾波；當 h 在估計附近只是輕微彎曲時效果很好。
無跡卡爾曼濾波器完全避開雅可比矩陣。它挑選一小組決定性的 sigma 點，讓每一點通過真實非線性，再由變換後的點雲重建一個高斯。對於中到強的非線性，它通常在相近成本下比 EKF 更準確。
\mathcal{X}^{(i)} = \hat{x} \pm \Big(\sqrt{(n+\lambda)\,P}\Big)_i, \qquad \hat{y} = \sum_i W_i\, h\big(\mathcal{X}^{(i)}\big)無跡變換：直接讓 sigma 點通過 h，再重新加權——不需任何導數。
UKF 不做微分，而是在估計周圍挑幾個聰明的取樣點——sigma 點——讓每個都通過真正的非線性函數，再重新平均。它不用任何導數就能捕捉曲率。
- \mathcal{X}^{(i)}
- 圍繞當前估計擺放的 sigma 點。
- \sqrt{(n+\lambda)\,P}
- sigma 點的展開幅度，由不確定性 P 決定。
- W_i
- 把變換後的點重新組合所用的權重。
- h(\cdot)
- 每個點所通過的非線性觀測函數。
這就是無跡卡爾曼濾波；當 h 彎曲得厲害時，它通常勝過 EKF。
粒子濾波器
當後驗確實非高斯或多峰時，不以均值與共變異數表示它，而以一群加權樣本（粒子）表示。每個粒子經動力學傳播、依其解釋新量測的好壞重新加權，並週期性地對整群重新取樣。這就是粒子濾波器，第一份指南貝葉斯遞迴最一般的實現。
w_k^{(i)} \propto w_{k-1}^{(i)}\, p\big(y_k \mid x_k^{(i)}\big), \qquad \hat{x}_k = \sum_i w_k^{(i)}\, x_k^{(i)}序列重要性加權；後驗均值是粒子的加權平均。
用一團猜測（粒子）來表示信念。每一輪，依每個猜測把新資料預測得多好來加權，再取加權平均作為你的估計。任何形狀的分布都能處理。
- x_k^{(i)}
- 第 i 個粒子——一個候選狀態。
- w_k^{(i)}
- 該粒子的重要性權重。
- p(y_k \mid x_k^{(i)})
- 該粒子把新量測解釋得多好。
- \hat{x}_k
- 所有粒子的加權平均估計。
這就是粒子濾波——靈活但昂貴，因為準確度隨粒子數增加。
閉迴路的轉折
這裡是本軌道最重要的實務教訓。上述每個濾波器通常都在開迴路資料上擬合——使用者被動觀看移動的目標，而你進行記錄。但一旦你閉合迴路、讓使用者操控，他們的神經活動就會改變：他們此刻會對游標誤差做出反應、修正並適應。訓練的統計不再與測試的統計相符（共變量偏移），一個離線統計最佳的解碼器，在線上可能顯得遲鈍、偏移或不穩定。
ReFIT 與閉迴路解碼器調適
解法是讓訓練資料反映使用者的意圖，而非其不完美的開迴路游標。ReFIT 背後的洞見是：校準期間使用者幾乎總是想筆直朝目標移動。於是你取觀測到的游標速度，把每一個旋轉到指向目標（保留其速率），再以這些意圖修正後的速度重新擬合卡爾曼濾波器。
v_k^{\text{intended}} = \lVert v_k \rVert \cdot \frac{p_{\text{target}} - p_k}{\lVert p_{\text{target}} - p_k \rVert}意圖估計：保留解碼出的速率，但在重訓練前將其方向重導向已知目標。
# ReFIT: rotate observed velocity toward the target, keep the speed
def refit_intention(pos, vel, target):
to_target = target - pos
dirn = to_target / (np.linalg.norm(to_target) + 1e-9)
speed = np.linalg.norm(vel)
return speed * dirn # intended velocity used to refit C, Q of the KF把 ReFIT 一般化，閉迴路解碼器調適（CLDA）會在使用者操控的同時反覆進行這種重新校準，於數秒至數分鐘內更新解碼器，使它與使用者一同收斂，而非與之對抗。