未知數多於方程式
拿正問題模型 \mathbf{v}=\mathbf{L}\mathbf{j} 來試著解出 \mathbf{j}。一頂高密度腦電圖帽或許有 64 至 256 個感測器；分布式源空間卻有數千個偶極，每個最多三個方向分量。因此 \mathbf{L} 是一個非常「寬」的矩陣，系統嚴重欠定——旋鈕遠比約束多。
\mathbf{v} = \mathbf{L}\mathbf{j},\qquad \mathbf{L}\in\mathbb{R}^{M\times 3N},\quad M \ll 3N逆問題是欠定的：感測器數 M 遠少於源未知數 3N。無窮多種電流分布 j 都能重現同一組量測 v。
源定位的核心難題：你的感測器數遠少於要解釋的腦中位置，方程式因此無法鎖定唯一解。無窮多種不同的電流型樣會產生完全相同的頭皮記錄。
- M
- 感測器數——至多數百。
- 3N
- 源未知數的數目——常達數千。
- M \ll 3N
- 未知數遠多於量測——此問題是欠定的。
- \mathbf{L}
- 導程場矩陣（矮而寬）。
具體而言，\mathbf{L} 有一個很大的零空間：任何滿足 \mathbf{L}\mathbf{j}_0=\mathbf{0} 的電流模式 \mathbf{j}_0——即所謂完全不產生頭皮場的「沉默源」——都能被加進任一解中，而不改變任何一個量測值。亥姆霍茲早在十九世紀就證明，一般的逆問題並無唯一解；這不是數值上的小麻煩，而是無法靠計算繞過的物理事實。
不適定，而不只是欠定
即使撇開非唯一性，逆問題在阿達馬（Hadamard）意義下仍是不適定的：解並不隨資料連續變化。由於體積傳導是一個平滑化算子（空間低通濾波器），把它反轉便是一種「去平滑」運算，會劇烈放大雜訊。極小的量測誤差——一點肌電、一次參考漂移、單一壞通道——都可能映射到天差地遠、且生理上荒謬的源估計。
脫困之道一——擬合少數偶極
最古老的策略藉由大幅縮減未知數來繞過零空間：假設資料只由一個或少數幾個等效電流偶極所產生，再以非線性最小平方擬合它們的位置與矩。
\hat{\boldsymbol{\theta}} = \arg\min_{\boldsymbol{\theta}}\;\bigl\lVert \mathbf{v} - \mathbf{L}(\boldsymbol{\theta})\,\mathbf{q}\bigr\rVert^{2}等效偶極擬合。θ 收集偶極位置（它們以非線性方式進入 L）；給定位置後，偶極矩 q 是線性的，可用封閉解求得。
一條出路：假設只有少數幾個偶極，搜尋最能重現資料的位置。位置以彆扭（非線性）的方式進入，但一旦固定位置，求各偶極的強度就是簡單的線性步驟。
- \boldsymbol{\theta}
- 被搜尋的偶極位置——它們以非線性方式進入 \mathbf{L}。
- \mathbf{q}
- 偶極矩，固定位置後可用封閉解求得。
- \mathbf{v}-\mathbf{L}(\boldsymbol{\theta})\mathbf{q}
- 量測與預測資料之間的落差。
- \arg\min
- 挑出使落差最小的參數。
偶極數少時，問題變得超定且行為良好——但前提是假設為真。偶極選太少，會漏掉真實的源；選太多，擬合便變得不穩定且多峰，最佳化器困在局部極小值。偶極擬合在焦點式、機制清楚的產生器上大放異彩（早期感覺誘發反應、癲癇棘波），卻在空間上分布的認知活動上失效。
脫困之道二——保留所有源，加入先驗
現代策略保留完整的分布式源空間，並藉由「選擇最能滿足某個先驗的解」來化解模糊性——例如偏好能量最小的電流分布，或最平滑的分布。這正是最小範數估計及其親族的地盤，也是下一篇的主題。
\hat{\mathbf{j}} = \arg\min_{\mathbf{j}}\;\underbrace{\lVert \mathbf{v}-\mathbf{L}\mathbf{j}\rVert^{2}}_{\text{fit the data}} \;+\; \lambda\,\underbrace{R(\mathbf{j})}_{\text{obey the prior}}正則化逆問題：在資料契合度與一個編碼先驗信念的懲罰 R(j) 之間權衡，由 λ 平衡。不同的先驗給出 MNE、LORETA、波束成形器與稀疏求解器。
另一條出路：保留所有源，但加上一個「先驗」——對表現合理之解的偏好。你在契合資料與遵守該偏好之間權衡，由 \lambda 設定取捨。你選哪種先驗就給出 MNE、LORETA、波束成形器等等。
- \lVert\mathbf{v}-\mathbf{L}\mathbf{j}\rVert^{2}
- 資料契合項——源解釋記錄的好壞。
- R(\mathbf{j})
- 編碼你對源之先驗信念的懲罰項。
- \lambda
- 在資料契合與先驗之間權衡的旋鈕。
「求解」誠實的意義
在信任任何源圖之前，這是必須內化的、令人不安的真相：你永遠無法還原真實的電流分布。你還原的，是解集合中你的先驗最偏愛的那一個元素。改變先驗——最小能量 vs. 最大平滑 vs. 稀疏——圖像就會改變，因為就構造而言，真實源與零空間分量單憑資料是無法區分的。正則化不揭示真相，它挑選一種偏好。另見解析度矩陣，它把這一點講得精確。