二進位、十六進位，以及為什麼用二進位

為什麼電腦用二而不用十來數數

從前面幾階你已經知道，電腦是由開關打造出來的——一個個不是開就是關、不是導通就是不導通的微小電晶體。一個開關恰好只有兩個可靠的狀態，而要它去保持十個不同的電壓位準來代表數字 0 到 9，就像要人在昏暗房間裡分辨十種灰階：理論上做得到，實務上卻脆弱又容易出錯。所以我們只用兩個狀態，並把它們命名為 0 與 1。每一個這樣「開或關」的答案就是一個位元（bit），一切資訊的原子。

二進位不是另一種算術，只是手指頭的數目不同罷了。在我們日常的十進位裡，每一位的值都是它右邊那一位的十倍：1、10、100、1000。在 二進位 裡，每一位的值是右邊那一位的兩倍：1、2、4、8、16……也就是 2 的次方。二進位數 1011 代表一個 8、零個 4、一個 2、一個 1，也就是 8 + 2 + 1 = 11。讀二進位，正是你早已信任的小學位值概念，只是把乘數從十換成了二。

位元、位元組與字組

單獨一個位元幾乎裝不了什麼——是或否、開或關。真正的資料需要把位元成群打包。標準的一包是八個位元，叫做一個 位元組（byte），可裝 2^8 = 256 種圖樣中的一種。位元組是多數機器會單獨交給你的最小一塊；它是記憶體定址的單位，也剛好大到能裝下一個普通的文字字元，這並非巧合。位元組之上坐著字組（word）——某個特定處理器一口想嚼的那一份自然份量，在現代機器上通常是 4 個位元組（32 位元）或 8 個位元組（64 位元）。

這三種尺寸——位元、位元組與字組——是你從這裡開始用來量度一切的尺。字組大小是處理器最深層的特徵之一：它決定了一個位址能有多大（因而決定機器能命名多少記憶體），也決定了暫存器與加法器有多寬。這就是為什麼大家會談 32 位元相對於 64 位元的機器——差別就在字組的寬度，連帶決定了處理器能直接指向的世界有多大。我們現在不繼續追這條線索，先把這三把尺握好就行。

十六進位：給累壞的人類用的速記

二進位很誠實，讀起來卻累人：單單一個 32 位元字組就是三十二個 0 和 1，一不小心就數錯。十六進位——也就是基底十六——正是解藥。它用十六個數字：0 到 9，然後用 A、B、C、D、E、F 代表十到十五的值。妙處在於十六是 2 的四次方，所以每一個十六進位數字恰好打包四個位元，不多不少。十六進位並不是另一種儲存數字的方式；機器裡的位元一點都沒變。它純粹是同一批位元更友善的記法，就像「一打」比「十二個一」更友善一樣。

因為四個位元對應一個十六進位數字，二進位與十六進位之間的轉換根本不必算術——只是重新分組而已。從右邊開始把二進位切成 nibble（四個位元一組），再對著一張你很快就會背起來的小表逐組讀出。圖樣 1111 是 F，1010 是 A，0000 是 0。為了讓十六進位在書寫上不致混淆，我們在前面加上 0x 標記，所以 0x1F 是十六進位，而單寫 31 仍是十進位。

binary:   1011 1110 1110 1111
nibbles:  1011 1110 1110 1111
hex:        B    E    E    F
result:   0xBEEF   (= 48879 in decimal)

handy reference:
  0000=0  0100=4  1000=8  1100=C
  0001=1  0101=5  1001=9  1101=D
  0010=2  0110=6  1010=A  1110=E
  0011=3  0111=7  1011=B  1111=F

二進位轉十六進位純粹是重新分組：每個十六進位數字對四個位元，照著表直接讀出。

徒手在不同基底之間轉換

基底轉換有兩個方向值得徹底掌握。二進位轉十進位，就是把有 1 的那些位值加起來——對 1011 來說是 8 + 2 + 1 = 11。反方向的十進位轉二進位，用的是反覆除法：一次又一次除以二，把餘數由下往上讀，就拼出二進位的各位數字。原理是同一套位值邏輯反著跑：每除以二一次，就從最右邊剝下一個位元當餘數。

拿十進位數字，比如 13。除以 2：13 / 2 = 6 餘 1。
再把商除一次：6 / 2 = 3 餘 0；接著 3 / 2 = 1 餘 1；再 1 / 2 = 0 餘 1。
當商變成 0 就停。把餘數從最後一個讀到第一個（由下往上）：1、1、0、1。
那就是 1101，等於 8 + 4 + 1 = 13。再轉回十進位驗算一遍，確認來回一致。

注意，在二進位與十六進位之間移動時，你完全不必繞經十進位——那段繞路只會招來錯誤。把位元分成 nibble 就完成了。而當這些是無號整數（沒有負號的單純計數）時，n 個位元涵蓋 0 到 2^n - 1，此外什麼都沒有。那個天花板是真實存在的：一旦衝過頭，數字就會繞回來，這正是緊接著的二補數與溢位兩篇指南要正面迎擊的危險。眼下要帶走的本領，是在二進位、十進位、十六進位之間流暢地移動。

位元不只是數字

這裡有個安靜而深刻的觀念，這一階接下來的內容都倚賴它：一串位元本身並沒有內建的意義。位元組 0x41，若當作無號數來讀是 65，當作文字來讀是字母 'A'，當作顏色的一部分來讀則是某種暗紅色。位元本身完全沒有說明該是哪一種。意義全然存在於約定之中——也就是寫位元的人與讀位元的人之間的慣例。這正是為什麼二進位足以表達一切的最深層原因：數字、字母、聲音、影像都化為同一套由 0 和 1 組成的字母表，唯一的區別只在於我們約定如何詮釋它們。

這直接呼應了基礎那一階的抽象層。在最底層，硬體只是搬動毫無特徵的位元圖樣；意義——數字、字元、指令、位址——是由上面各層所賦予的，由烤進指令集、編譯器與程式裡的種種慣例所賦予。同一套把兩個無號計數相加的機器，只要對完全相同的那批位元改用另一種約定的讀法，就能把兩個有號數相加——這正是下一篇指南用二補數打造出的優雅把戲。