定義，以及逆為何重要
同胚是一個雙射 f : X → Y，使 f 與 f⁻¹ 都連續。當這樣的 f 存在時，稱 X 與 Y 同胚：它們是同一個拓撲空間換了不同標籤。因為 f 是具連續逆的連續雙射，所以 U 在 X 中開當且僅當 f(U) 在 Y 中開——於是 f 在兩個拓撲之間建立了一部完美的詞典。X 的每個拓撲性質 Y 都共享。
一個做出來的同胚
距離與長度都不是拓撲性質，所以有界區間可與無界直線同胚。這是最乾淨的例子：開區間 (-1, 1) 與整個 R 同胚。在拓撲上，一段有限開區間與整條實軸無從分辨，縱使一者長度為 2、另一者無窮長。
Claim: f : (-1, 1) -> R, f(x) = x / (1 - x^2), is a homeomorphism.
1. Well-defined: for -1 < x < 1 the denominator 1 - x^2 > 0, so f(x) is finite.
2. f is continuous: it is a quotient of polynomials with nonzero denominator
on (-1,1), hence continuous there.
3. f is strictly increasing, so injective:
f'(x) = (1 + x^2) / (1 - x^2)^2 > 0 for all x in (-1, 1).
4. f is surjective onto R:
as x -> 1^-, f(x) -> +infinity; as x -> -1^+, f(x) -> -infinity.
f is continuous, so by the intermediate value theorem it hits every
real value in between. Thus f((-1,1)) = R.
5. f^{-1} is continuous:
solving y = x/(1 - x^2) gives x = (sqrt(1 + 4y^2) - 1) / (2y) for y != 0,
and x = 0 for y = 0; this is continuous on all of R.
(Equivalently: a continuous strictly monotone bijection on an interval
automatically has a continuous inverse.)
f is a continuous bijection with continuous inverse => homeomorphism. ∎不變量：如何證明空間不同
要證兩空間同胚，只需給出一個同胚。要證它們不同胚則更難：你必須排除所有可能的映射。所用工具是拓撲不變量——同胚下保持不變的性質。若 X 具備而 Y 不具備，則不可能有同胚。緊性與連通性——本軌道餘下篇幅的主題——正是這兩個主力不變量。