重讀 epsilon–delta
回憶epsilon–delta 定義：f 在 a 處連續，是指對每個 epsilon > 0 都存在 delta > 0，使 |x - a| < delta 迫使 |f(x) - f(a)| < epsilon。把結論讀成：只要 x 落入以 a 為心、半徑 delta 的球，f(x) 就落入以 f(a) 為心、半徑 epsilon 的球。用開球的話說，f(a) 周圍每個開球的原像都含有 a 周圍的一個開球。由於開集恰是開球之並，這與「任意開集的原像是開的」是同一回事。
拓撲定義
設 X、Y 為拓撲空間。映射 f : X → Y 稱為連續映射，若對 Y 中每個開集 V，其原像 f⁻¹(V) 在 X 中是開的。這就是定義的全部——沒有點、沒有 epsilon、沒有距離。它是整體的而非逐點的，但在度量情形下恰好刻畫了同一批映射，下一段證明會說明這點。
Theorem. For f : R -> R, the two definitions agree:
(A) epsilon-delta continuous at every point a;
(B) preimage of every open set is open.
(A) => (B):
Let V ⊆ R be open. Take any a ∈ f^{-1}(V), so f(a) ∈ V.
Since V is open, some ball (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) ⊆ V.
By (A) there is delta > 0 with |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon,
i.e. f maps (a-delta, a+delta) into (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) ⊆ V.
Hence (a-delta, a+delta) ⊆ f^{-1}(V).
Every point of f^{-1}(V) has such a ball around it, so f^{-1}(V) is open.
(B) => (A):
Fix a and epsilon > 0. The set V = (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) is open,
so by (B) the set U = f^{-1}(V) is open and contains a.
Openness of U gives delta > 0 with (a-delta, a+delta) ⊆ U,
meaning |x-a| < delta => f(x) ∈ V => |f(x)-f(a)| < epsilon.
That is exactly the epsilon-delta condition at a. ∎為何用原像，與一個免費定理
回報是難定理變得平凡。以連續映射之複合仍連續為例：用 epsilon–delta 需嵌套兩次選 delta；用原像只需一行。若 f : X → Y 與 g : Y → Z 連續，W ⊆ Z 開，則 g⁻¹(W) 在 Y 中開，故 f⁻¹(g⁻¹(W)) 在 X 中開。但 f⁻¹(g⁻¹(W)) = (g∘f)⁻¹(W)，所以 W 在 g∘f 下的原像是開的。證畢。一個等價判據是：f 連續當且僅當每個閉集的原像是閉的——取補即得。