從開球到開集
在度量空間裡你已知道什麼是開球：B(x, r) 是與 x 距離小於 r 的點之集。當 U 中每一點都坐落在某個仍完全含於 U 的開球之內時，稱集合 U 是開的——通俗地說，每個點都有一點活動餘地。現在留意我們在證明中真正用到的關於開集的事實：整個空間與空集是開的；任意一族開集之並是開的；兩個開集之交是開的。其餘幾乎一切都僅由這三條推出。
這一觀察就是拓撲的全部思想。我們不再從距離出發推導開集，而是直接從開集本身出發，規定哪些子集算作開集，只需服從那三條規則。距離從此不再登場。
開集公理
集合 X 上的一個拓撲是 X 的若干子集組成的集族 τ——即我們約定稱為開的那些——恰好滿足下面三條公理。序對 (X, τ) 就是一個拓撲空間。注意其不對稱性：可以做任意多個並，卻只能做有限多個交。
- （T1）空集 ∅ 與整個空間 X 都是開的。
- （T2）任意一族開集之並是開的——哪怕是無限甚至不可數的並。
- （T3）有限多個開集之交是開的。
Claim: in any topological space, a finite intersection of open sets is open.
Proof by induction on the number of sets k.
Base case k = 2: U1 and U2 open => U1 ∩ U2 open (this is axiom T3).
Inductive step: suppose any intersection of k open sets is open.
Let U1, ..., U_{k+1} be open. Write
U1 ∩ ... ∩ U_{k+1} = (U1 ∩ ... ∩ Uk) ∩ U_{k+1}.
By the inductive hypothesis V := U1 ∩ ... ∩ Uk is open.
Then V ∩ U_{k+1} is an intersection of TWO open sets, hence open by T3.
So the statement holds for k+1, and by induction for every finite k. ∎
Note: the proof breaks for infinite intersections — there is no "last" set
to peel off, and the induction never reaches it. T3 really is finite-only.鄰域與最簡單的例子
點 x 的一個鄰域是任意含 x 的開集（有些書稱含某這樣開集的任意集合）。鄰域取代了度量中「靠近 x」的概念：某性質若在某鄰域內處處成立，就說它在 x 附近成立。兩個極端拓撲框住了其餘所有：離散拓撲令每個子集皆開——點之間最大限度地分離；平凡（密著）拓撲只有 ∅ 與 X 開——點之間無法分離。有趣的拓撲都介於二者之間。