正項：有界即收斂
當每個 a_n >= 0 時，部分和 s_N 只能增大：s_{N+1} = s_N + a_{N+1} >= s_N。由單調收斂定理，單調遞增數列收斂當且僅當它有上界。所以對非負級數，收斂恰好等價於部分和有界。這正是一切比較判別法能奏效的原因。
於是比較判別法說：若對一切大的 n 有 0 <= a_n <= b_n 且 sum b_n 收斂，則 sum a_n 也收斂（它的部分和被困在某界之下）。若 a_n >= b_n >= 0 而 sum b_n 發散，則 sum a_n 也發散。從上方擠壓證收斂；從下方頂推證發散。
當不等式不便手工建立時，極限比較判別法更友好：若 a_n, b_n > 0 且 a_n/b_n -> L，其中 0 < L < infinity，則 sum a_n 與 sum b_n 同時收斂或發散。你只需知道 a_n 的主階行為。
積分判別法解決 p 級數
標準尺子是 p 級數 sum 1/n^p。要乾淨地判定它，我們用積分判別法：若 f 為正、遞減、連續且 f(n) = a_n，則 sum a_n 與 f 從 1 到 infinity 的反常積分同時收斂或發散。直觀圖像是夾在曲線之間的矩形，把和與面積作比較。
p-series sum_{n=1}^∞ 1/n^p, decided by the integral test.
Let f(x) = 1/x^p on [1, infinity): positive, continuous, decreasing
for p > 0. Compare the series to integral_1^infinity x^(-p) dx.
Case p != 1:
integral_1^R x^(-p) dx = [ x^(1-p)/(1-p) ]_1^R
= (R^(1-p) - 1)/(1 - p).
As R -> infinity:
if p > 1, then 1-p < 0, so R^(1-p) -> 0 => integral = 1/(p-1) (finite) => CONVERGES
if p < 1, then 1-p > 0, so R^(1-p) -> infinity => DIVERGES
Case p = 1:
integral_1^R (1/x) dx = ln R -> infinity => DIVERGES
(this recovers the harmonic series)
Conclusion: sum 1/n^p converges <=> p > 1.讓比較判別法上場
- 看 a_n 在大 n 時的主階——剝去常數和低階項。
- 猜一個匹配該主階的 p 級數 1/n^p（或幾何 r^n）。
- 用極限比較判別法確認：算 a_n / (1/n^p) -> L 並驗 0 < L < infinity。
- 從已知的尺子級數行為讀出答案。
Test sum (2n + 1)/(n^3 + 5).
Leading order: numerator ~ 2n, denominator ~ n^3,
so a_n ~ 2n / n^3 = 2/n^2. Compare with b_n = 1/n^2 (p = 2 > 1).
Limit comparison:
a_n / b_n = [ (2n+1)/(n^3+5) ] * n^2
= (2n^3 + n^2) / (n^3 + 5)
-> 2 as n -> infinity (0 < 2 < infinity).
Since sum 1/n^2 converges (p = 2 > 1),
by limit comparison sum (2n+1)/(n^3+5) CONVERGES.