把無窮和變成一個數列
寫下 a_1 + a_2 + a_3 + … 看上去要我們做無窮多次加法，誰也做不到。分析學的竅門是絕不一次性把無窮多個數加起來。我們從各項 a_n 出發，構造一個全新的數列，即部分和數列：s_1 = a_1，s_2 = a_1 + a_2，s_3 = a_1 + a_2 + a_3，一般地 s_N = a_1 + … + a_N。每個 s_N 都是貨真價實的有限和。
現在我們如此定義無窮級數 sum a_n 收斂到數 s：恰當部分和數列以 s 為極限，即 s_N -> s。這時我們稱 s 為和，記 sum a_n = s。若部分和沒有有限極限，級數就發散。所以收斂級數無非——也恰恰——是一個喬裝打扮的收斂數列。
完整算出幾何級數
唯一一個我們能手算出和的級數是幾何級數 sum_{n=0}^∞ r^n。它的部分和能化成閉形式，由此極限立刻可見。這值得記住，因為後面幾乎每個判別法都暗中拿它來比較。
Claim: for |r| < 1, sum_{n=0}^∞ r^n = 1/(1 - r).
Step 1. Write the N-th partial sum and multiply by r.
s_N = 1 + r + r^2 + ... + r^N
r*s_N = r + r^2 + ... + r^N + r^(N+1)
Step 2. Subtract to telescope the middle.
s_N - r*s_N = 1 - r^(N+1)
(1 - r) s_N = 1 - r^(N+1)
s_N = (1 - r^(N+1)) / (1 - r) [valid since r != 1]
Step 3. Take the limit N -> infinity.
If |r| < 1 then r^(N+1) -> 0, so
s_N -> 1/(1 - r).
Therefore the series converges to 1/(1 - r).
Step 4. If |r| >= 1 the terms r^n do NOT tend to 0,
so s_N has no finite limit and the series diverges.
Example: r = 1/2 gives 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1/(1 - 1/2) = 2.請注意收斂在哪一步被決定：在第 3 步，取決於是否 r^(N+1) -> 0。這個無窮和之所以真實存在，僅僅因為那一個數列極限存在。一切都繫於部分和。
裂項：當和坍縮時
第二族能精確求和的是裂項級數，其中每一項是一個差 b_n - b_{n+1}。幾乎所有東西都互相抵消，只剩兩端。它是幾何級數那招的表親，也是觀察部分和哲學的清爽例子。
Sum sum_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)).
Partial fractions: 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1).
s_N = sum_{n=1}^N (1/n - 1/(n+1))
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/N - 1/(N+1))
= 1 - 1/(N+1) [every interior term cancels]
Limit: s_N = 1 - 1/(N+1) -> 1 as N -> infinity.
Therefore sum_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) = 1.