沒有目標的接近
迄今每個判據都需要先有極限 L。Cauchy 數列去掉了它：若 (a_n) 的各項彼此靠近，則稱它為 Cauchy 數列。精確地說——對每個 epsilon > 0，存在 N，使得對所有 m, n > N 有 |a_m - a_n| < epsilon。任何地方都不出現 L。你只被問及尾部是否聚攏。
兩個簡短事實確立容易的方向。其一，每個收斂數列都是 Cauchy 的：若 a_n -> L，則由三角不等式 |a_m - a_n| <= |a_m - L| + |L - a_n|，越過某個 N 後兩部分都很小。其二，每個 Cauchy 數列都有界，理由與有界收斂數列的一步論證相同。所以 Cauchy 介於「收斂」與「有界」之間。深刻的問題是反向的第一支箭。
為什麼 Cauchy 數列在 R 中收斂
這就是為本路徑加冕的定理：在實數中，每個 Cauchy 數列都收斂。證明是此前一切的美妙協作。Cauchy 數列有界；由 Bolzano–Weierstrass 它有收斂於某 L 的子列；隨後 Cauchy 條件迫使「整個」數列都趨於同一個 L。逐行閱讀它。
Theorem: every Cauchy sequence (a_n) in R converges.
Step 1 (bounded). A Cauchy sequence is bounded.
Step 2 (a candidate limit). By Bolzano-Weierstrass, some subsequence
a_{n_k} -> L for some real L.
Step 3 (the whole sequence catches up). Let e > 0.
Cauchy: choose N so that |a_m - a_n| < e/2 for all m, n > N.
Subsequence: choose k with n_k > N and |a_{n_k} - L| < e/2.
Then for every n > N, using the triangle inequality:
|a_n - L| <= |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - L|
< e/2 + e/2 = e.
Hence a_n -> L. QED
The Cauchy condition does the heavy lifting in step 3:
it lets ONE good subsequence term L drag the whole tail along.完備性恰是此事
這條蘊含成立，正是完備性的含義。實數的完備性可表述為：每個實數 Cauchy 數列都收斂到一個實數。聚攏的數列沒有任何縫隙可掉入。有理數不具備這一點——這正是我們終究需要實數的原因。
The rationals are NOT complete -- a Cauchy sequence with no rational limit.
Define rationals by truncating the decimal expansion of sqrt(2):
a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, a_4 = 1.4142, ...
Each a_n is rational. For m > n the terms agree to n decimals, so
|a_m - a_n| <= 10^{-n} -> 0, so (a_n) is Cauchy.
In R it converges to sqrt(2). But sqrt(2) is irrational, so inside Q
the sequence bunches up around a HOLE -- it has no rational limit.
Moral: Cauchy means "trying to converge." Whether it succeeds
depends on the space. R fills every such hole; Q does not.這是通往數軸之外的門戶。完備度量空間是任何「每個 Cauchy 數列都收斂」的空間，而當看不見候選極限時，Cauchy 判據便成為證明收斂的標準工具——在函數空間中、在真正的實分析中，乃至更遠之處。你如今已從 epsilon 與 N 出發，建立了大部分分析學所倚賴的那一個想法。