什麼是子列
(a_n) 的子列，是你選取一個無限、嚴格遞增的下標列 n_1 < n_2 < n_3 < … 後，依次讀出 a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, … 所得。你可以跳過項，但絕不重排、絕不用盡。從 a_n = (-1)^n，偶下標給出常子列 1, 1, 1, …，奇下標給出 -1, -1, -1, …。
關於子列最乾淨的事實：若 a_n -> L，則每個子列也收斂於 L。其逆否命題是一台發散探測器。若兩個子列趨於不同的極限，則母數列不可能收斂——這正是 (-1)^n 發散的原因，因為它的偶、奇子列分別趨於 1 和 -1。
Bolzano–Weierstrass
這就是頭條定理。Bolzano–Weierstrass 定理說：每個有界實數數列都有收斂子列。一個有界數列整體上可能拒絕收斂——如 (-1)^n——但它永遠無法擺脫「某一部分安定下來」的命運。這是數軸上緊性的數列層面形式。
最乾淨的證明是二分法加區間套定理。把數列困在一個區間內，將其對半分，保留仍含無窮多項的那一半。區間收縮到一點，而精心選取的子列被漏斗般引向該點。
Bolzano-Weierstrass by bisection.
Let (a_n) satisfy |a_n| <= M, so all terms lie in I_0 = [-M, M].
Step: split the current interval in half. At least one half
contains a_n for infinitely many n; call that half I_{k+1}.
-> I_0 ⊇ I_1 ⊇ I_2 ⊇ ... , each I_{k} of length 2M / 2^k.
Build the subsequence: pick n_1 with a_{n_1} in I_1; then pick
n_2 > n_1 with a_{n_2} in I_2 (possible: infinitely many to choose from);
in general n_{k} > n_{k-1} with a_{n_k} in I_k.
Nested interval theorem: the I_k shrink to a single point L.
For k large, I_k has length < e, and both a_{n_k} and L lie in I_k, so
|a_{n_k} - L| <= length(I_k) < e.
Hence a_{n_k} -> L. QED上極限、下極限，以及去向何方
Bolzano–Weierstrass 保證子列極限存在；上極限與下極限把它們組織起來。(a_n) 的上極限是任何子列所能趨近的最大值，下極限是最小值。對有界數列，兩者恆存在，且 a_n 收斂當且僅當 limsup a_n = liminf a_n——此時這個公共值就是極限。對 (-1)^n，limsup = 1 而 liminf = -1，恰好記錄了它為何發散。