有界、單調，與極限的運算

有界與單調

有界數列是其各項永不逃出固定窗口的數列：存在數 M 使對所有 n 有 |a_n| <= M。第一個基本事實：每個收斂數列都有界。（越過某個 N，各項落在 L 的 1 範圍內，故被 |L| + 1 控制；前面有限多項有一個最大絕對值；取最大者即可。）逆命題不成立——(-1)^n 有界卻發散——所以僅有界並不夠。

單調數列只朝一個方向走：遞增（對所有 n 有 a_{n+1} >= a_n）或遞減（對所有 n 有 a_{n+1} <= a_n）。單調數列無法振盪，故它們唯一可能不收斂的方式，就是奔向無窮。這一觀察是下一個定理的核心。

單調收斂定理

單調收斂定理說：遞增且有上界的數列收斂，其極限是各項的上確界。（對稱地，遞減且有下界的數列收斂於下確界。）這是第一個無需有人事先告訴你答案就召喚出極限的定理——它之所以成立，恰因實數藉助最小上界性質而完備。

Theorem: (a_n) increasing and bounded above => converges to L = sup{a_n}.

Proof:
  The set S = {a_n : n in N} is nonempty and bounded above,
  so by the least upper bound property L = sup S exists.
  Let e > 0. Since L - e is NOT an upper bound (L is the LEAST one),
  some term a_N satisfies a_N > L - e.
  For all n > N, monotonicity gives a_n >= a_N > L - e.
  Also a_n <= L for every n (L is an upper bound), so a_n <= L < L + e.
  Combining:  L - e < a_n <= L,  hence |a_n - L| < e.
  Therefore a_n -> L.  QED

上確界給出 N：因 L 是「最小」上界，L - e 無法成為界，故某項已超過它——而單調性使其後各項都保持在它之上。

極限的運算與夾逼

一旦你知道若干極限，極限的運算便讓你組合它們而無需回到 epsilon。若 a_n -> A 且 b_n -> B，則：a_n + b_n -> A + B；a_n - b_n -> A - B；a_n b_n -> AB；且當 B 非 0（且各項最終非零）時 a_n / b_n -> A/B。每條用 epsilon 證一次，便可永遠重用——這就是認真建立定義的回報。

夾逼定理是另一員主力：若最終有 a_n <= b_n <= c_n，且 a_n -> L、c_n -> L，則 b_n -> L 也成立。它通過把未知數列夾在兩個已知數列之間，來求那些無法直接攻克的極限。

Evaluate  d_n = (3n^2 + 2n) / (n^2 + 5)  using the algebra of limits.

Divide top and bottom by n^2:
  d_n = (3 + 2/n) / (1 + 5/n^2).
Known facts: 2/n -> 0 and 5/n^2 -> 0 (from 1/n -> 0 and products).
Numerator -> 3 + 0 = 3.   Denominator -> 1 + 0 = 1 (nonzero!).
By the quotient rule:  d_n -> 3/1 = 3.

Squeeze example:  e_n = (sin n) / n.
Since -1 <= sin n <= 1, we have  -1/n <= e_n <= 1/n.
Both -1/n -> 0 and 1/n -> 0, so by the squeeze  e_n -> 0.

兩個乾淨的求值，全程不見 epsilon：極限運算處理有理表達式，夾逼處理振盪的分子。