拆解定義
這就是 epsilon–N 定義。稱 (a_n) 收斂於 L，記作 a_n -> L，如果：對每個 epsilon > 0，存在自然數 N，使得對所有 n > N 都有 |a_n - L| < epsilon。量 |a_n - L| 是間隙的絕對值，即 a_n 到 L 的距離。故 |a_n - L| < epsilon 讀作「第 n 項落在 L 的 epsilon 範圍內」。
量詞的順序至關重要。對每個 epsilon 在前；之後才由存在 N 來回應它。因此 N 允許依賴 epsilon——epsilon 越小，N 越大——這正是第 1 篇中「起始下標往後推」的模式。把順序倒過來，就成了斷言一個 N 對所有 epsilon 都管用，那太強了，幾乎從不成立。
寫全的第一個證明
標準套路：取任意 epsilon > 0，做草稿以發現 n 須多大，然後通過選定 N 正向寫出證明。下面是 1/n -> 0 的完整證明。注意結構——草稿處是你找到 N 的地方，乾淨的證明處是你說理的地方。
Claim: 1/n -> 0. Scratch (find N): we want |1/n - 0| < e. |1/n - 0| = 1/n (since n > 0). 1/n < e <=> n > 1/e. So any N with N >= 1/e will do. Proof: Let e > 0 be given. By the Archimedean property, choose a natural N with N > 1/e. Let n > N. Then n > 1/e, so 1/n < e. Hence |1/n - 0| = 1/n < e. Since e > 0 was arbitrary, 1/n -> 0. QED
唯一性，以及證明發散
定義立刻顯出價值。收斂數列只有一個極限。設 a_n -> L 且 a_n -> M，而 L 不等於 M。取 epsilon = |L - M| / 2 > 0。從某處起 a_n 落在 L 的 epsilon 內；從某處起落在 M 的 epsilon 內。越過這兩處，三角不等式給出 |L - M| <= |L - a_n| + |a_n - M| < epsilon + epsilon = |L - M|，即 |L - M| < |L - M|，矛盾。故 L = M，極限是良定義的。
要證明發散，就否定定義。數列「不」收斂於 L 意味著：存在某個 epsilon > 0，使得對每個 N 都有某個 n > N 滿足 |a_n - L| >= epsilon。一個壞 epsilon、無窮多次出現，就足夠了。看它如何幹掉 b_n = (-1)^n。
Claim: a_n = (-1)^n does NOT converge.
Suppose toward contradiction a_n -> L for some L.
Take e = 1 in the definition. Then for some N,
|(-1)^n - L| < 1 for all n > N.
Pick an even n > N and an odd m > N (both exist). Then
|1 - L| < 1 and |-1 - L| < 1.
By the triangle inequality,
2 = |1 - (-1)| = |(1 - L) - (-1 - L)|
<= |1 - L| + |-1 - L| < 1 + 1 = 2.
So 2 < 2, a contradiction.
Therefore no such L exists: (-1)^n diverges. QED