數列是定義在自然數上的函數
實數數列並不神秘：它就是一串有序的數 a_1, a_2, a_3, …，每個自然數對應一項。嚴格地說，它是從自然數到實數的函數 n -> a_n，我們通常把整體記作 (a_n)。這裡 n 是下標（指明位置），a_n 是該位置上的項。順序很重要，而且這串數永不終止。
三個貫穿本指南的例子。數列 a_n = 1/n 依次為 1, 1/2, 1/3, 1/4, …，趨向零。數列 b_n = (-1)^n 永遠地跳動 -1, 1, -1, 1, …。數列 c_n = n 攀升 1, 2, 3, …，奔向無窮。三者行為各異，而極限概念的全部意義，就是精確地說明這種差異。
要捕捉的想法是「最終靠近」
直觀上，若 (a_n) 的各項隨 n 增大而變得並保持任意靠近某數 L，則稱 (a_n) 收斂於 L。對 a_n = 1/n，各項要多接近零就有多接近，且不再漂離，故極限為 0。承載分量的兩個詞是任意（沒有哪個固定容差夠用——你必須能擊敗每一個）與保持（只觸及 L 一次不夠；那種接近必須從某處起一直成立）。這就是收斂的種子。
想像在數軸上 L 周圍畫一條半寬為 epsilon 的細帶——L 的一個非正式鄰域。收斂於 L 意味著：無論你把帶做得多窄，除有限多項外，所有項都落在帶內。對 1/n，取 L = 0、帶為 (-0.01, 0.01)，則從 n = 101 起每項都在帶內；把帶收窄，你只需稍晚一點開始。
How close is 1/n to 0? Want 1/n < 0.1 -> need n > 10 -> works from n = 11 Want 1/n < 0.01 -> need n > 100 -> works from n = 101 Want 1/n < 0.001 -> need n > 1000 -> works from n = 1001 Pattern: for ANY tolerance e > 0, take n > 1/e. Then 1/n < e, and it stays < e for every larger n too. The starting index moved, but it was always FINITE. That "for any e there is a starting index" is exactly convergence.
為什麼我們終究需要一個定義
「靠近」富有啟發性卻又滑不可握。1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, … 收斂於 0 嗎？它不斷回到 0，卻也不斷邁開。b_n = (-1)^n 收斂嗎？它總是靠近 -1 或 1 之一，卻從不安定於一個。日常語言無法裁決這些情形；我們需要一個足夠銳利、每次都能給出是或否的判據。這種銳利，正是數學分析賴以建立的根基。