連續函數都可積
標誌性結論：閉有界區間上的每個連續函數都黎曼可積。祕訣在於，[a,b] 上的連續性會自動升級為一致連續性——存在一個對整段區間都管用的 δ，而不是每點各取一個。正是這個統一的 δ，讓我們能一舉控制處處的振幅 M_k − m_k。
Theorem: f continuous on [a,b] => f Riemann integrable on [a,b].
Proof. Let ε > 0. We aim for a partition with U(f,P) - L(f,P) < ε.
f is continuous on the compact [a,b], hence UNIFORMLY continuous:
there is δ > 0 such that |x - y| < δ => |f(x) - f(y)| < ε/(b - a).
Choose any partition P with mesh ‖P‖ < δ (e.g. n equal pieces, n large).
On each subinterval [x_{k-1}, x_k] f attains its max and min (Extreme Value Thm),
say at points p_k, q_k. Both lie in the piece, so |p_k - q_k| <= Δx_k < δ. Then
M_k - m_k = f(p_k) - f(q_k) <= |f(p_k) - f(q_k)| < ε/(b - a).
Sum it up:
U(f,P) - L(f,P) = sum (M_k - m_k) Δx_k
< (ε/(b-a)) * sum Δx_k
= (ε/(b-a)) * (b - a) = ε.
By the Riemann criterion, f is integrable. QED單調函數，以及更全的圖景
連續是充分而非必要。函數可以跳躍卻仍然可積。任何在 [a,b] 上單調的 f（比如遞增）都可積，哪怕有無窮多個跳躍點。用 n 個等寬 (b−a)/n 的小段，各段振幅會望遠鏡式相消：
f increasing on [a,b], partition into n equal pieces, Δx = (b-a)/n.
For increasing f: M_k = f(x_k), m_k = f(x_{k-1}). So
U(f,P) - L(f,P) = sum_{k=1}^n ( f(x_k) - f(x_{k-1}) ) * Δx
= Δx * sum ( f(x_k) - f(x_{k-1}) ) (telescopes!)
= Δx * ( f(b) - f(a) )
= (b-a)(f(b) - f(a)) / n.
Given ε>0, pick n > (b-a)(f(b)-f(a))/ε. Then U - L < ε. Integrable. QED我們能推到多遠？完整的答案是勒貝格判別準則：[a,b] 上的有界 f 黎曼可積，當且僅當它的不連續點集「測度為零」——可以用總長任意小的一族區間蓋住。連續函數（無不連續點）與單調函數（至多可數個跳躍）都輕鬆通過；狄利克雷函數（處處不連續）則不通過。這裡只點出這一地平線，它屬於測度論。
你用來計算的法則
一旦函數可積，積分就遵守你預期的代數法則。它們都源自黎曼準則，再加上 sup、inf 在求和與縮放下的性質。
- 線性：若 f、g 可積且 c 為常數，則 ∫(f + g) = ∫f + ∫g 且 ∫(c·f) = c·∫f。
- 區間可加性：當 a < c < b 時，∫ 從 a 到 b = ∫ 從 a 到 c + ∫ 從 c 到 b。
- 單調性：若在 [a,b] 上逐點 f ≤ g，則 ∫f ≤ ∫g。特別地，f ≥ 0 給出 ∫f ≥ 0。
- 積分的三角不等式：|∫f| ≤ ∫|f|，它是三角不等式的積分版本（且只要 f 可積，|f| 也可積）。