函數何時可積？黎曼判別準則

兩邊一起逼

上一篇留給我們兩族數——下和在下、上和在上，永不交錯。自然的做法，是把每一族盡量推到底。把所有下和的上確界定義為下積分，把所有上和的下確界定義為上積分：

lower integral  =  sup over all partitions P  of  L(f, P)
upper integral  =  inf over all partitions P  of  U(f, P)

Because every lower sum <= every upper sum (previous guide):
   lower integral  <=  upper integral     ALWAYS, for any bounded f.

There is a permanent gap unless they happen to meet.

下積分永不超過上積分。

對有界的 f，這兩個數總是存在——這由實數的完備性保證（每個有界集都有 sup 和 inf）。當下積分恰好等於上積分時，我們就說 f 在 [a,b] 上黎曼可積，二者的公共值就是積分 ∫ 從 a 到 b 的 f。若二者不等，就沒有哪個數配叫「面積」，我們便拒絕對 f 積分。

黎曼準則

在實踐中比較兩個 sup/inf 很彆扭。黎曼準則把可積性化為一條可直接檢驗的不等式，而且是貨真價實的充要條件：f 在 [a,b] 上可積，當且僅當對每個 ε > 0 都存在某個分割 P，使 U(f,P) − L(f,P) < ε。只要找到一個把縫隙壓到 ε 以下的分割就夠了。

Claim: f integrable  <=>  for all ε>0 there is a partition P with U(f,P) - L(f,P) < ε.

(=>)  Suppose f integrable, common value I. By definition of sup and inf,
      pick P1 with  L(f,P1) > I - ε/2   and  P2 with  U(f,P2) < I + ε/2.
      Let P = P1 ∪ P2 (common refinement). Refinement keeps L up and U down, so
          L(f,P) >= L(f,P1) > I - ε/2 ,    U(f,P) <= U(f,P2) < I + ε/2.
      Subtract:  U(f,P) - L(f,P) < (I+ε/2) - (I-ε/2) = ε.   done.

(<=)  Suppose for each ε>0 some P has U(f,P) - L(f,P) < ε. Always
          L(f,P) <= lower integral <= upper integral <= U(f,P),
      so   0 <= upper integral - lower integral <= U(f,P) - L(f,P) < ε.
      A non-negative number smaller than EVERY ε must be 0.
      Hence upper integral = lower integral, i.e. f is integrable.   done.

黎曼準則的兩個方向，完整寫出。

一個不可積的例子

為體會準則的威力，看狄利克雷函數：在 [0,1] 上，f(x) = 1（當 x 為有理數），= 0（當 x 為無理數）。在任何子區間上，無論多小，都同時含有有理數與無理數，所以對每個 k 都有 M_k = 1、m_k = 0。於是對每個分割 P 都有 U(f,P) = 1、L(f,P) = 0。縫隙恆為 1；上積分是 1，下積分是 0，永不相遇。這個 f 不是黎曼可積的。