切分區間：分割與達布和

什麼是分割

固定閉區間 [a,b] 上的一個有界函數 f。[a,b] 的一個分割 P 就是一串有限的點 a = x_0 < x_1 < … < x_n = b。這些點把區間切成 n 個子區間 [x_{k-1}, x_k]。整個積分的思路，就是用一根根細長方形的面積之和去近似 f 下方的面積——每個子區間上一根——並且只要切得夠細，就能讓近似要多好有多好。

第 k 個子區間的寬度記作 Δx_k = x_k − x_{k-1}。這些寬度中最大的那個叫做 P 的網格（也稱模），寫作 ‖P‖ = max_k Δx_k。網格小就意味著每一段都很細。我們並不要求各段等長；允許長短不一會讓某些證明更簡潔。

上和與下和

在每個子區間上，長方形該多高？兩個誠實的選擇：函數在這段上能達到的最高與最低。因為 f 有界，在第 k 段上它有上確界 M_k = sup f（在 [x_{k-1}, x_k] 上）和下確界 m_k = inf f（同一段上）。達布上和用高的那些長方形，達布下和用矮的那些：

U(f, P) = sum_{k=1}^{n} M_k * Δx_k   with M_k = sup f on [x_{k-1}, x_k]
L(f, P) = sum_{k=1}^{n} m_k * Δx_k   with m_k = inf f on [x_{k-1}, x_k]

Since m_k <= f(t) <= M_k for every t in the k-th piece,
   L(f, P) <= (true area, if it exists) <= U(f, P)   for EVERY partition P.

Example: f(x) = x^2 on [0, 1], partition P = {0, 1/2, 1}, Δx_k = 1/2.
  Piece [0, 1/2]: m_1 = 0,    M_1 = 1/4
  Piece [1/2, 1]: m_2 = 1/4,  M_2 = 1
  L(f, P) = 0*(1/2) + (1/4)*(1/2) = 1/8 = 0.125
  U(f, P) = (1/4)*(1/2) + 1*(1/2) = 5/8 = 0.625
So the area lies in [0.125, 0.625]. (The true value is 1/3 = 0.333…)

加細只會變好，不會變壞

若分割 Q 含有 P 的所有點（也許還更多），就稱 Q 是 P 的一個加細。關鍵的結構性事實是：加細只會抬高下和、壓低上和。添加一個切點會把一段分成兩段；在更小的每一段上，下確界只會更大、上確界只會更小，因為你是在更小的集合上取 sup/inf。

1. 若 Q 加細 P，則 L(f, P) ≤ L(f, Q) ≤ U(f, Q) ≤ U(f, P)。下和上升、上和下降，仍然把面積夾在中間。
2. 對任意兩個分割 P_1 與 P_2，它們的公共加細 Q = P_1 ∪ P_2 滿足 L(f, P_1) ≤ L(f, Q) ≤ U(f, Q) ≤ U(f, P_2)。
3. 於是任何下和 ≤ 任何上和——哪怕來自毫不相干的兩個分割。所有下和構成的集合，整體位於所有上和構成的集合之下。