絕對值與三角不等式

絕對值即距離

絕對值 |x| 在 x ≥ 0 時為 x，在 x < 0 時為 -x。它在分析學中的真正含義是距離：|x - y| 是 x 與 y 在數軸上相隔多遠。兩個事實幾乎承擔全部工作。其一，|x| ≤ a 等價於 -a ≤ x ≤ a；這把一個絕對值陳述化為可操作的雙側不等式。其二，|x*y| = |x|*|y|。

條件 |x - a| < delta 描述以 a 為中心、半徑為 delta 的開區間——a 的一個鄰域。這正是極限的 epsilon-delta 定義所用的語言，所以絕對值是分析學的語法。把 |x - y| 抽象出來便得到度量的概念，即一般空間上的距離函數。

三角不等式

三角不等式說：對一切實數 x, y 有 |x + y| ≤ |x| + |y|。寫成距離形式 |x - z| ≤ |x - y| + |y - z|：從 x 到 z 的路程，繞道經過 y 不會更短。這是本學科最常用的不等式，因為它讓你能把誤差拆成幾塊、逐塊控制——這是每個極限證明中估計的核心。

Proof of |x + y| <= |x| + |y|.
  For any real t we have -|t| <= t <= |t|.
  Apply to x:    -|x| <= x <= |x|
  Apply to y:    -|y| <= y <= |y|
  Add the two chains:
     -(|x| + |y|) <= x + y <= |x| + |y|
  An inequality -a <= u <= a is the same as |u| <= a, so
     |x + y| <= |x| + |y|.   QED

Reverse triangle inequality: | |x| - |y| | <= |x - y|.
  From |x| = |(x - y) + y| <= |x - y| + |y|, get |x| - |y| <= |x - y|.
  By symmetry |y| - |x| <= |x - y|. Combine: | |x| - |y| | <= |x - y|.

三角不等式與反向三角不等式，均已證明。