公理，以及 Q 斷裂之處
完備性公理——最小上界性質——陳述如下：每個非空、上有界的實數集合在 R 中都有上確界。這一行加到有序體公理上，就完全刻畫了 R。在重新命名意義下，恰好只有一個完備有序體，它就是我們稱為實數軸的連續統。
下面這個反例說明 Q 缺這條性質。令 S = { x ∈ Q : x > 0 且 x*x < 2 }。在有理數範圍內，這個集合非空（含 1）且上有界（被 2 界住）。然而 S 沒有有理上確界：任何有理上界都能再壓小一點而仍是上界，任何在界以下的有理數都能再抬大一點而仍在 S 中。那個候選者——根號 2——根本不在 Q 中。最小上界缺失了——有理數軸上有一個貨真價實的洞。
兩個推論：阿基米德與稠密
完備性立即給出阿基米德性質：自然數在 R 中無上界，故對任意實數 x 都有整數 n 使 n > x。等價地，對任意 epsilon > 0 都有 n 使 1/n < epsilon。這正是「可讓 1/n 任意小」這一直覺的嚴格版本。
Theorem (Archimedean property): N is not bounded above in R. Proof by contradiction. Suppose N is bounded above. Then by COMPLETENESS, s = sup N exists in R. Since s is the LEAST upper bound, s - 1 is NOT an upper bound, so there is a natural number n with n > s - 1. But then n + 1 > s, and n + 1 is a natural number. This contradicts s being an upper bound of N. Hence N is unbounded above. QED Corollary: for every epsilon > 0 there is n in N with 1/n < epsilon.
由阿基米德性質得到有理數的稠密性：任意兩個實數 a < b 之間必有有理數。取 n 使 1/n < b - a，使步長 1/n 比間隙更細；第一個超過 a 的倍數 m/n 必落在 b 以下。故 Q 在 R 中稠密——有理數無處不在，卻仍留下要由完備性來填的洞。