界與有界性
設 S 是非空的實數集合。若對 S 中每個 x 都有 x ≤ M，則 M 是 S 的上界。若 m ≤ x 對每個 x 成立，則 m 是下界。有上界的集合稱為上有界，有下界的稱為下有界，兩者皆有的是有界集。注意界不必屬於 S，且一個集合有無窮多個界：若 M 可用，則任何更大的數亦可用。
S 的最大元（若存在）是落在 S 內部的上界。但許多集合沒有最大元：開區間 (0, 1) 沒有最大元，因為對任意 x < 1 都還有一個更大卻仍小於 1 的元素。我們需要一個對有界集總存在的替代品——那就是上確界。
上確界：最小上界
S 的上確界，記作 sup S，是最小上界：一個數 L，使得 (1) L 是 S 的上界，(2) 沒有更小的數是上界——若 M < L，則 M 不能界住 S。對偶地，下確界 inf S 是最大下界。當 sup S 恰好落在 S 中時它等於最大元；(0, 1) 的 sup = 1 但無最大元。
Claim: sup of S = { 1 - 1/n : n = 1, 2, 3, ... } equals 1.
Step 1 (upper bound): for every n, 1/n > 0, so 1 - 1/n < 1.
Hence 1 is an upper bound.
Step 2 (least): fix any epsilon > 0. We must find x in S with x > 1 - epsilon.
Choose n large enough that 1/n < epsilon
(possible by the Archimedean property — guide 3).
Then 1 - 1/n > 1 - epsilon, and 1 - 1/n is in S.
By the epsilon characterization, sup S = 1.
Note 1 is NOT in S, so S has no maximum.