有序域：代數與序

域公理

有序域是實分析的出發點。體（域）是帶有加法與乘法兩種運算、並滿足體公理的集合：兩種運算都滿足交換律與結合律，乘法對加法滿足分配律，存在互異的單位元 0 和 1，每個元素都有加法逆元，每個非零元素都有乘法逆元。有理數 Q、實數 R 與複數 C 都是體。整數 Z 不是——在 Z 內 2 沒有乘法逆元。

你在中學代數裡學到的一切——消去、移項、乘積為零當且僅當某因子為零——都是可從這些公理證明的定理，而非額外規則。這正是嚴格性的精神：一份簡短而固定的假設清單，之後的每個事實都靠證明掙得。

Claim: in any field, x*0 = 0 for every x.
Proof.
  x*0 = x*(0+0)        (0 is the additive identity)
      = x*0 + x*0      (distributive law)
  Add the inverse -(x*0) to both sides:
  x*0 + (-(x*0)) = (x*0 + x*0) + (-(x*0))
  0 = x*0 + (x*0 + -(x*0))   (associativity)
  0 = x*0 + 0
  0 = x*0.                   QED
Nothing about 'numbers' was used — only the axioms.

一個一行的中學常識，從公理從頭證明。

加上序

當我們挑出一個在加法與乘法下封閉的正元集合 P，並使得對每個 x，下列三者恰有其一成立：x 屬於 P、x = 0、-x 屬於 P，體就成為一個有序體。我們於是定義 x < y 表示 y - x 屬於 P。由此，所有不等式規則隨之而來：可在兩邊加同一量，可在兩邊乘以正數，乘以負數時方向反轉。

一個漂亮的推論：平方永不為負。若 x 非 0，則 x 或 -x 為正，正數自乘為正，故 x*x > 0。特別地 1 = 1*1 > 0。這就已排除了複數成為有序體，因為在那裡 i*i = -1 < 0。