阿貝爾定理與魏爾斯特拉斯逼近

阿貝爾定理：連續性延伸到端點

在半徑之內，冪級數連續，因為它在閉子區間上一致收斂。但在級數恰好勉強收斂的某個端點處究竟會怎樣？阿貝爾定理說：若半徑 R = 1 的冪級數在端點 x = 1 處收斂，則其和在那裡左連續，故端點處的值等於 x 從下方趨於 1 時和的極限。

為何這並非免費：在端點處收斂可能只是條件收斂，故 M-判別法在那裡給不出一致收斂，簡易連續性論證就失效。阿貝爾的證明用分部求和恰好在 [0, 1] 上提取出足夠的一致性，把連續性推到邊界。回報是：我們可以合法地把端點代入僅在半徑之內證明的級數恆等式。

Recall from guide 3 (valid for |x| < 1):
   ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

Question: what is the value at the endpoint x = 1?

Step 1.  At x = 1 the series becomes  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...,
         the alternating harmonic series.  Terms 1/n decrease to 0,
         so by the alternating series test it CONVERGES (to some S).

Step 2.  By Abel's theorem the power-series sum is continuous from
         the left at x = 1, so
            S = lim_{x -> 1^-} ln(1 + x) = ln 2.

Conclusion:  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2.

Abel licenses the limit x -> 1^- even though convergence at x = 1
is only conditional, not absolute.

阿貝爾定理靠連續性對一個條件收斂級數求值。

魏爾斯特拉斯：多項式逼近一切連續函數

本軌道一直用多項式構造函數；魏爾斯特拉斯逼近定理則把箭頭反過來。它說：若 f 是閉有界區間 [a, b] 上的連續函數，則對每個 epsilon > 0，存在普通多項式 p 使 [a, b] 上 |f(x) - p(x)| 的上確界 < epsilon。換言之，在上確界範數下，多項式在連續函數空間中稠密。

標準的構造性證明用伯恩斯坦多項式。為在 [0, 1] 上逼近 f，作 B_n(x) = sum from k=0 to n of f(k/n) * C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)。這些是僅由 f 的抽樣值構造的真正多項式，並一致收斂於 f。其概率內核是：二項權 C(n,k) x^k (1-x)^(n-k) 集中在 k/n ≈ x 附近，故 B_n(x) 是聚集在 f(x) 周圍的 f 值的加權平均。

全局圖景與一個推廣

冪/解析函數構成一個狹窄而剛性的類：等於自身的泰勒級數，故由一點處的芽資料決定。
連續函數遠更一般——大多數處處不解析，有些甚至處處不可微。
魏爾斯特拉斯架起橋樑：儘管連續 f 不必本身是冪級數，它在每個緊區間上是多項式的一致極限。