逐項微分與積分

為何一致收斂是引擎

把無窮和與求導或積分互換並非自動成立——它需要一致收斂，而不僅是逐點收斂。對冪級數的好消息是：它們在嚴格落在半徑之內的每個閉區間上一致收斂。所用工具是魏爾斯特拉斯 M-判別法。

Claim: sum c_n x^n converges uniformly on [-r, r] for any 0 < r < R.

Pick rho with r < rho < R.  Since rho < R the series converges at rho,
so its terms are bounded: |c_n| rho^n <= M for some M and all n.

For every x in [-r, r]:
   |c_n x^n| <= |c_n| r^n = (|c_n| rho^n) (r/rho)^n <= M (r/rho)^n.

Let M_n = M (r/rho)^n.  Since r/rho < 1, sum M_n is a convergent
geometric series, and |c_n x^n| <= M_n for ALL x in [-r, r].

By the Weierstrass M-test, sum c_n x^n converges UNIFORMLY on [-r, r].  QED

借幾何控制項，在每個閉子區間上一致收斂。

逐項運算保持相同半徑

對 sum c_n x^n 逐項微分得 sum n c_n x^(n-1)；逐項積分得 sum c_n x^(n+1)/(n+1)。第一個關鍵事實：兩個新級數都與原級數有相同的半徑 R。這由柯西–阿達馬得出，因為 n^(1/n) -> 1，故把係數乘以 n 或乘以 1/(n+1) 不改變 n 次根的上極限。

第二個關鍵事實是：這些新級數確實代表原和的導數與原函數。設 f(x) = sum c_n x^n 在 (-R, R) 上。則逐項微分給出 f'(x) = sum n c_n x^(n-1)，逐項積分給出 f 從 0 到 x 的積分等於 sum c_n x^(n+1)/(n+1)。兩者在半徑之內都合法。

對積分：在 [0, x] 上的一致收斂允許你交換積分與無窮和（一致收斂保持積分）。這直接給出逐項積分。
對微分：微分後的級數 sum n c_n x^(n-1) 在閉子區間上一致收斂（同樣的 M-判別法論證），且原級數在某點收斂。關於對導數一致收斂級數求導的定理便給出 f' 等於該級數。
迭代：f' 又是半徑為 R 的冪級數，故它也可微。由歸納法，f 有任意階導數——它在 (-R, R) 上是光滑函數。

一個有回報的實例

Start from the geometric series (|x| < 1):
   1/(1 - x) = sum_{n>=0} x^n.

Differentiate term by term (legal, same radius R = 1):
   1/(1 - x)^2 = sum_{n>=1} n x^(n-1) = 1 + 2x + 3x^2 + ...

Replace x by -x in the geometric series:
   1/(1 + x) = sum_{n>=0} (-1)^n x^n.

Integrate term by term from 0 to x (legal for |x| < 1):
   ln(1 + x) = sum_{n>=0} (-1)^n x^(n+1)/(n+1)
             = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

No new convergence work was needed: each operation kept R = 1.

靠逐項微積分免費導出兩個著名級數。