什麼是冪級數，它在哪裡有意義

以 a 為中心的無窮多項式

冪級數是形如 sum from n=0 to infinity of c_n (x - a)^n 的表達式，其中 c_n 是固定的係數，a 是中心。對每個固定的 x，它只是一個實數的無窮級數，所以含義與任何級數完全相同：構造部分和 s_N(x) = sum from n=0 to N of c_n (x - a)^n，問當 N 增大時 s_N(x) 是否趨於某極限。若是，則級數在 x 處收斂，其和是一個數；若否，則在該處發散。

所以冪級數不是一個數；它在它收斂的那個 x 集合上定義了一個函數。整門學科都從確定這個集合開始。注意它總包含中心：當 x = a 時，所有 n >= 1 的項都消失，只剩 c_0。

收斂集是一個區間

下面是使理論變得乾淨的結構性事實。若中心在 a 的冪級數在某點 x_1（其中 |x_1 - a| = r_1 > 0）處收斂，則它在每個滿足 |x - a| < r_1 的 x 處絕對收斂。原因是與幾何級數作比較：在 x_1 處收斂迫使各項 c_n (x_1 - a)^n 有界，而更近的點得到一個嚴格小於 1 的幾何因子。

Claim: if sum c_n (x_1 - a)^n converges, then for any x with
       |x - a| < |x_1 - a| the series sum c_n (x - a)^n converges absolutely.

Step 1 (terms are bounded).  A convergent series has terms -> 0,
        so the sequence c_n (x_1 - a)^n is bounded:
        there is M with |c_n (x_1 - a)^n| <= M  for all n.

Step 2 (set the ratio).  Let t = |x - a| / |x_1 - a|.
        By assumption 0 <= t < 1.

Step 3 (geometric bound).  For each n,
        |c_n (x - a)^n| = |c_n (x_1 - a)^n| * t^n <= M * t^n.

Step 4 (compare).  sum M t^n is a geometric series with ratio t < 1,
        hence converges.  By the comparison test,
        sum |c_n (x - a)^n| converges -> absolute convergence.   QED

一點處的收斂向內傳播到每個更近的點。

這條引理迫使收斂集成為以 a 為中心的區間。定義 R 為使級數收斂的所有距離 |x - a| 的上確界（允許 R = 0 或 R = 無窮）。那麼級數對每個 |x - a| < R 收斂，對每個 |x - a| > R 發散。這個半寬 R 就是收斂半徑——附在冪級數上最重要的那個數。

R 的三種大小

R = 0：級數只在中心收斂。例如 sum n! x^n。對任何 x != 0，各項 n! x^n 都爆炸增長，故除 x = 0 外處處發散。
0 < R < 無窮：在 (a - R, a + R) 上收斂，區間外發散。例如 sum x^n 的 R = 1。
R = 無窮：對每個實數 x 收斂。例如 sum x^n / n!（指數級數）處處收斂。