函數演算與無界算子

把函數作用於算子

若自伴算子 T 對角化為 Tx = Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ，則對 σ(T) 上任意函數 f，我們只需定義 f(T)x = Σ f(λₙ)⟨x,eₙ⟩eₙ。這就是[[functional-calculus|函數演算]]：逐特徵值地作用 f。它是真正的代數同態——(f+g)(T) = f(T)+g(T)，(fg)(T) = f(T)g(T)，且 ‖f(T)‖ = sup_{λ∈σ(T)}|f(λ)|——故算子的繁雜代數化為譜上函數的簡易代數。

Square root of a positive operator, via functional calculus.

Let T be self-adjoint with sigma(T) contained in [0, inf): a positive operator,
  Tx = sum_n lambda_n <x, e_n> e_n,  with each lambda_n >= 0.

Define S = T^{1/2} by applying f(t) = sqrt(t):
  S x = sum_n sqrt(lambda_n) <x, e_n> e_n.

Check S^2 = T:
  S^2 x = sum_n ( sqrt(lambda_n) )^2 <x, e_n> e_n
        = sum_n lambda_n <x, e_n> e_n = T x.   good

S is self-adjoint (real eigenvalues sqrt(lambda_n)) and positive (sqrt(lambda_n) >= 0).
So every positive operator has a unique positive square root --
the operator analogue of sqrt of a non-negative number.

當算子無界時

物理學的算子——位置、動量、能量——無界，故無法在整個 H 上定義。無界算子帶有稠密的定義域 D(T) ⊊ H，在其上作用；良好行為要求它閉（圖像閉）而非連續。L²(ℝ) 上的微分算子 T = i d/dx 是範例：它無界，因為 i d/dx 作用於 eⁱᵏˣ 得 −k·eⁱᵏˣ，而 k 可任意大，故沒有單一常數界住 ‖Tf‖/‖f‖。

完整的譜定理與量子力學

當 σ(T) 不是離散特徵值集時，和式 Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ 變為對投影值測度 E 的積分：Tx = ∫_{σ(T)} λ dE(λ)。這是一般的譜定理，對任何（可能無界的）自伴算子成立，且涵蓋 H 中根本沒有特徵向量的連續譜情形——L²(ℝ) 上的位置算子有等於整個 ℝ 的純連續譜。函數演算也隨之推廣：f(T) = ∫ f(λ) dE(λ)。

這是量子力學的數學核心。可觀測量是一個自伴算子 T；其譜 σ(T) 是可能的測量值集合，投影值測度 E 給出落入某值域的概率。時間演化是酉算子 e^{−itH}，由哈密頓量 H 經函數演算（取 f(λ) = e^{−itλ}）構造。整個框架立於無界自伴算子的譜定理之上——正是本軌道一路攀登的目的地。並非巧合，傅立葉變換恰是把 i d/dx 對角化的那個酉算子。