自伴算子與譜定理

伴隨、自伴與正規

在希爾伯特空間 H 上，每個有界算子 T 都有伴隨 T*，由 ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T*y⟩ 對所有 x, y 定義，用到內積。T 稱為自伴，若 T = T*；正規，若 TT* = T*T；酉，若 T*T = TT* = I。自伴是實對稱矩陣的算子類比；正規是任何可酉對角化矩陣的類比。伴隨是讓幾何——角度與正交——與 T 的代數對話的橋樑。

Two facts you can verify by hand for self-adjoint T (T = T*).

(1) <Tx, x> is real for every x.
    <Tx, x> = <x, T*x> = <x, Tx> = conj(<Tx, x>),
    and z = conj(z) means z is real.

(2) Eigenvalues are real and eigenvectors for distinct eigenvalues are orthogonal.
    Let Tx = lambda x with x != 0.  Then
       lambda <x,x> = <Tx, x> = <x, Tx> = conj(lambda) <x,x>,
    so lambda = conj(lambda): lambda is real.
    If also Ty = mu y with mu != lambda, then
       lambda <x,y> = <Tx, y> = <x, Ty> = mu <x,y>   (mu real)
       => (lambda - mu)<x,y> = 0 => <x,y> = 0.

自伴性強制特徵值為實、特徵空間正交——正是矩陣的故事。

範數等於譜半徑

對自伴算子，譜是實的，落在區間 [m, M] 內，其中 m = inf‖x‖=1 ⟨Tx,x⟩，M = sup‖x‖=1 ⟨Tx,x⟩，且兩端點確實在 σ(T) 中。一個引人注目的結論：‖T‖ = r(T) = max(|m|, |M|)。所以對自伴算子，範數——一個分析量——可直接從譜讀出，且 ‖T‖ = sup{|λ| : λ ∈ σ(T)}。正算子（⟨Tx,x⟩ ≥ 0）恰好是 σ(T) ⊆ [0, ∞) 的自伴算子。

緊自伴算子的譜定理

把緊性與自伴性結合，便得到存在的最乾淨的無窮維對角化。緊自伴算子的[[ana-spectral-theorem|譜定理]]斷言：存在 T（其像閉包）的由特徵向量構成的標準正交基 (eₙ)，伴有實特徵值 λₙ → 0，且對每個 x 有 Tx = Σₙ λₙ ⟨x, eₙ⟩ eₙ。每個 eₙ 把 T 對角化；整個算子是投影到其特徵線上的秩一投影的加權和。這正是用標準正交特徵基對角化對稱矩陣的無窮維孿生。

透過在單位球面上最大化 ⟨Tx,x⟩，證明 T 有特徵值 λ₁ 滿足 |λ₁| = ‖T‖；緊性使極大點可達。
把 T 限制到 e₁ 的正交補；這個子空間是 T-不變的，T 在其上仍是緊自伴。
重複以提取 e₂, e₃, …，|λₙ| 遞減；緊性迫使 λₙ → 0。
驗證 eₙ 張成像的閉包，故 Tx = Σ λₙ⟨x,eₙ⟩eₙ 對所有 x 成立。