緊的含義
巴拿赫空間上的有界算子 K 稱為緊的，若它把單位球映為閉包緊緻的集合——等價地，每個有界序列 (xₙ) 都有子列使 (Kxₙ) 收斂。有限秩算子是緊的，且緊算子的範數極限仍緊，故緊性即有限秩算子在算子範數下的閉包。緊性恰好是在無窮維中恢復波爾查諾–魏爾斯特拉斯行為的性質，否則那裡的單位球從不緊緻。
里斯–紹德爾譜圖景
回報在此。對無窮維空間上的緊算子 K，譜 σ(K) 是可數集，0 是其唯一可能的聚點。σ(K) 的每個非零點都是有限重數的特徵值，且對每個 ε > 0 只有有限多個特徵值滿足 |λ| ≥ ε。因此譜是一列趨於 0 的特徵值 λₙ（可能有限），再加上 0 本身——在無窮維中 0 總屬於 σ(K)，因為 K 不可能可逆。
Why eigenvalues cannot accumulate away from 0.
Suppose lambda_n -> lambda with |lambda| > 0, distinct eigenvalues,
with eigenvectors e_n. Distinct eigenvalues => the e_n are independent.
Let M_n = span(e_1, ..., e_n), a strictly increasing chain of closed subspaces.
By Riesz's lemma pick y_n in M_n with ||y_n|| = 1 and dist(y_n, M_{n-1}) >= 1/2.
For m < n, compute K y_n - K y_m:
(K - lambda_n) maps M_n into M_{n-1}, and K y_m lies in M_{n-1}, so
K y_n - K y_m = lambda_n y_n - [ stuff in M_{n-1} ].
Hence ||K y_n - K y_m|| >= |lambda_n| * dist(y_n, M_{n-1}) >= |lambda_n|/2.
Since lambda_n -> lambda != 0, ||K y_n - K y_m|| >= |lambda|/4 for large n,m.
So (K y_n) has NO convergent subsequence, contradicting compactness of K.
Therefore eigenvalues can only accumulate at 0. QED弗雷德霍姆擇一律
對緊算子 K 與 λ ≠ 0，算子 K − λI 以最乾淨的意義表現得像矩陣：它是指標為零的弗雷德霍姆算子。具體地，弗雷德霍姆擇一律說恰好二者之一成立。要麼 K − λI 可逆（於是方程 (K − λI)x = y 對每個 y 有唯一解），要麼 λ 是特徵值，此時齊次方程 (K − λI)x = 0 有非零解，而非齊次方程僅當 y 與伴隨算子的有限維核正交時可解。沒有中間地帶——除 0 外沒有連續譜。