預解式與譜半徑

作為解析族的預解式

在預解集 ρ(T) 上定義 R(λ) = (T − λI)⁻¹，即預解式。兩行計算給出預解恆等式 R(λ) − R(μ) = (λ − μ)R(λ)R(μ)。除以 λ − μ 並令 μ → λ，可見 R 可微且 R′(λ) = R(λ)²，故預解式是開集 ρ(T) 上的解析算子值函數。這種解析性是關於譜的每條定理背後的引擎。

Resolvent identity, derived from a single algebraic trick:

  R(lambda) - R(mu)
    = R(lambda) [ (T - mu I) - (T - lambda I) ] R(mu)      (insert I = (T-muI)R(mu) on left,
                                                            I = R(lambda)(T-lambdaI) on right)
    = R(lambda) [ (lambda - mu) I ] R(mu)
    = (lambda - mu) R(lambda) R(mu).

So  [R(lambda) - R(mu)] / (lambda - mu) = R(lambda) R(mu).
Let mu -> lambda:  R'(lambda) = R(lambda)^2.
=> R is analytic on rho(T), with all the consequences of analyticity.

諾伊曼級數與半徑界

對 |λ| > ‖T‖，我們把 R(λ) 展成算子的幾何級數：−(1/λ)(I − T/λ)⁻¹ = −Σ_{n≥0} Tⁿ/λⁿ⁺¹。它按算子範數收斂，因為 ‖Tⁿ/λⁿ⁺¹‖ ≤ ‖T‖ⁿ/|λ|ⁿ⁺¹，是收斂的幾何級數。故每個這樣的 λ 都在 ρ(T) 中，確認 σ(T) ⊆ {|λ| ≤ ‖T‖}，並給出界 r(T) ≤ ‖T‖，其中 r(T) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T)} 是譜半徑。

蓋爾範德譜半徑公式

精確的陳述是蓋爾範德公式：r(T) = lim_{n→∞} ‖Tⁿ‖^{1/n}，且此極限總存在。直覺是：R(λ) 的諾伊曼級數是關於 1/λ 的冪級數，其係數為 Tⁿ，而冪級數恰好在收斂半徑之外收斂。由於 R 在整個 ρ(T) 上解析，它可能失效的最大 λ——σ(T) 的邊界——由作用於 ‖Tⁿ‖ 的柯西–阿達馬根值判別法支配。

1. 次乘性 ‖T^{m+n}‖ ≤ ‖Tᵐ‖‖Tⁿ‖ 使 log‖Tⁿ‖ 次可加，故 lim ‖Tⁿ‖^{1/n} = inf_n ‖Tⁿ‖^{1/n} 存在（費克特引理）。
2. 級數 Σ Tⁿ/λⁿ⁺¹ 對 |λ| > lim‖Tⁿ‖^{1/n} 收斂，故 r(T) ≤ lim‖Tⁿ‖^{1/n}。
3. R 在 |λ| > r(T) 上的解析性迫使兩個半徑相等，給出 r(T) = lim‖Tⁿ‖^{1/n}。