譜：重新理解特徵值

從特徵值到不可逆

固定複巴拿赫空間 X 上的一個有界線性算子 T。純量 λ 是特徵值，若存在非零 x 使 Tx = λx——等價地，T − λI 有非平凡核。在有限維中，這是 T − λI 不可逆的唯一方式，所以壞的 λ 恰好就是特徵值。因此誠實的無窮維定義拋開特徵向量，保留真正的禍首：λ 屬於譜 σ(T)，當且僅當 T − λI 作為有界算子不可逆。其補集是預解集 ρ(T)。

三種失敗方式

S = T − λI 的可逆性會因三種原因失效，它們把 σ(T) 切成幾塊。若 S 非單，則 λ 在點譜中——這些是真正的特徵值。若 S 單且像稠密但不閉，則不存在有界逆；λ 落在連續譜中。若 S 單但其像甚至不稠密，則 λ 在剩餘譜中。下面的移位算子表明連續與剩餘兩種情形並非奇異的稀罕物。

Right shift S on l^2:  S(x_1, x_2, x_3, ...) = (0, x_1, x_2, ...)

Claim: 0 is in sigma(S) but is NOT an eigenvalue.

Injective?  Sx = 0 forces (0, x_1, x_2, ...) = 0, so every x_k = 0.
            Hence ker S = {0}: 0 is NOT in the point spectrum.

Surjective? Range of S = { y in l^2 : y_1 = 0 }.
            The vector e_1 = (1,0,0,...) is not in the range.
            So S is not onto, hence S - 0*I = S is not invertible.

Conclusion: 0 in sigma(S), but 0 is not an eigenvalue.
            (Range is closed but proper => 0 lies in the residual spectrum.)

Contrast: ||S x|| = ||x||, so S is an isometry, ||S|| = 1,
          and one shows sigma(S) = closed unit disk { |lambda| <= 1 }.

右移算子的譜是整個閉單位圓盤，卻沒有一個特徵值。

譜是緊的且非空

對複巴拿赫空間上每個有界 T，有兩條結構性事實。其一，σ(T) 閉且有界——實際上含於圓盤 |λ| ≤ ‖T‖ 內，因為當 |λ| > ‖T‖ 時，諾伊曼級數 Σ λ⁻ⁿ⁻¹ Tⁿ 按算子範數收斂並求得 T − λI 的逆。其二，σ(T) 從不為空：否則預解式 λ ↦ (T − λI)⁻¹ 將是一個在無窮處消失的有界整函數，由劉維爾定理必為零——荒謬。