重積分、富比尼定理與換元

重積分

在盒子 R = [a_1, b_1] × ... × [a_n, b_n] 上，重積分的構造與一元情形完全相同。用分割把 R 切成小盒子，作（函數值）×（小盒體積）的黎曼和，再問當網格變細時這些和是否收斂。若收斂，則 f 黎曼可積，極限即積分。盒子上的有界 f 可積，當且僅當其不連續點集為零測集——這就是勒貝格判別準則。

富比尼：一次積一個變量

直接計算多維極限是無望的。富比尼定理解救了我們：二重（或 n 重）積分等於累次積分，逐個變量計算，且積分次序可以交換。每個內層積分都是你已會的普通一元積分。

Fubini on a box (f continuous, hence integrable):

   integral_R  f dV  =  integral_a^b ( integral_c^d f(x, y) dy ) dx
                     =  integral_c^d ( integral_a^b f(x, y) dx ) dy.

Example: f(x, y) = x y over R = [0, 1] x [0, 2].

   inner: integral_0^2 x y dy = x * [ y^2/2 ]_0^2 = x * 2 = 2x.
   outer: integral_0^1 2x dx = [ x^2 ]_0^1 = 1.

Swap the order to double-check:
   inner: integral_0^1 x y dx = y * [ x^2/2 ]_0^1 = y/2.
   outer: integral_0^2 (y/2) dy = [ y^2/4 ]_0^2 = 1.   Same answer.

二重積分化為兩次累次積分——兩種次序一致。

換元：雅可比行列式度量體積

一元換元法則在 n 維中長出一個雅可比因子。在 C^1 可逆映射 T 之下，一個小盒映為一個小平行六面體，其體積被 |det DT| 縮放。於是換元公式插入這個雅可比行列式的絕對值，作為局部體積形變因子。

Change of variables. If T : U -> V is a C^1 bijection with C^1 inverse,

   integral_V  f(y) dy  =  integral_U  f( T(u) ) * | det DT(u) |  du.

Polar coordinates T(r, theta) = ( r cos theta, r sin theta ):

   DT = [ cos theta   -r sin theta ;  sin theta   r cos theta ]
   det DT = r cos^2 theta + r sin^2 theta = r,  so | det DT | = r.

Compute the Gaussian integral via this. Let I = integral_{R^2} e^{-(x^2+y^2)} dA.

   I = integral_0^{2pi} integral_0^{infinity} e^{-r^2} * r dr dtheta
     = 2pi * [ -1/2 e^{-r^2} ]_0^{infinity}
     = 2pi * (1/2) = pi.

Therefore integral_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx = sqrt(I) = sqrt(pi).

雅可比因子 r 把極座標化為經典的高斯積分。

回望整個階梯：全導數給了我們線性逼近，它的行列式恰是局部體積比例，而這正是積分中出現的因子。多元的微分與積分，在雅可比矩陣處相遇。