從直線到 R^n
在一元微積分中，輸入位於實數軸上，導數只度量一個斜率。現在輸入是 R^n 中的一點 x = (x_1, ..., x_n)，而多元函數 f: U -> R 把這樣一點映為一個實數。定義域 U 是 R^n 的開子集，因此 U 中每一點都有一個完全落在 U 內的小球——一個鄰域。能夠朝每個方向移動的餘地，正是我們談論導數所需要的。
一個好用的圖像是水平集 {x : f(x) = c}：對 f(x, y) = x^2 + y^2 它們是圓，圖像是一個碗。極限與連續性的定義和在直線上一樣，只是現在 |x - a| 是歐氏距離，因此 x -> a 意味著該點同時從所有方向逼近 a。
偏導數與方向導數
最簡單的導數是固定其餘變量、只讓一個變量變化。f 關於 x_j 在 a 處的偏導數，就是一元函數 t -> f(a + t e_j) 的普通導數，其中 e_j 是第 j 個座標方向。更一般地，對單位向量 v，方向導數是下面的極限，即沿方向 v 離開 a 時的變化率。
Partial derivative of f at a in direction e_j:
D_j f(a) = lim_{t -> 0} ( f(a + t e_j) - f(a) ) / t
Directional derivative in unit direction v:
D_v f(a) = lim_{t -> 0} ( f(a + t v) - f(a) ) / t
Worked example: f(x, y) = x^2 y, a = (1, 3).
Hold y fixed: d/dx ( x^2 * 3 ) = 6x, at x=1 gives D_1 f(a) = 6.
Hold x fixed: d/dy ( 1 * y ) = 1, so D_2 f(a) = 1.
Now a diagonal direction v = (1/sqrt2, 1/sqrt2):
g(t) = f(1 + t/sqrt2, 3 + t/sqrt2)
g'(0) = 6 * (1/sqrt2) + 1 * (1/sqrt2) = 7/sqrt2.
Notice 7/sqrt2 = (6, 1) . (1/sqrt2, 1/sqrt2) — partials predicted it.為什麼偏導數還不夠
教訓是：偏導數只探測座標軸方向，甚至所有方向導數都存在，f 仍可能不連續。我們需要一個更強的條件，能同時控制 f 沿每條路徑的行為。那就是全導數，下一篇的主題。