柯西序列與完備性

聚攏：柯西序列

收斂要求各項趨向某個特定點 L。但我們常常想察覺各項正在「安定下來」，卻不指明其歸宿。若序列 (x_n) 的各項最終彼此接近並保持接近，則稱其為柯西序列：對每個 epsilon > 0，存在 N，使得對所有 m, n ≥ N 都有 d(x_m, x_n) < epsilon。這個定義中沒有出現極限——只有各項之間的相互距離。

每個收斂序列都是柯西的——一旦所有項都落在極限的 epsilon/2 之內，它們彼此就在 epsilon 之內。逆命題才是微妙之處，也是各個空間相互區別的地方。

Claim: every convergent sequence is Cauchy.

Suppose x_n -> L.  Fix epsilon > 0.
There is N with d(x_n, L) < epsilon/2 for all n >= N.

Now take any m, n >= N.  By the triangle inequality,

      d(x_m, x_n) <= d(x_m, L) + d(L, x_n)
                  <  epsilon/2 + epsilon/2
                  =  epsilon.

So the terms are mutually within epsilon for m, n >= N,
which is exactly the Cauchy condition.   QED

The CONVERSE (Cauchy => convergent) can FAIL:
  In X = the rationals Q with d(x, y) = |x - y|,
  the decimal truncations 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... are Cauchy
  (consecutive terms differ by at most 10^(-k)),
  but their would-be limit sqrt(2) is NOT in Q.
  The sequence bunches toward a hole.

收斂 ⇒ 柯西總成立；逆命題在有理數上失敗，那裡 √2 是一個缺失的極限。

完備性

若逆命題處處成立——每個柯西序列都真正收斂到該空間中的一點——則稱該度量空間為完備度量空間。完備性是說空間沒有洞——無論各項在何處聚攏，總有一個真正的極限在等候。實數 R 是範例；其完備性本質上正是把 R 與 Q 區別開來的完備性公理的內容。有理數 Q 則是範例性的反例，正如上面的 √2 序列所示。

填洞：完備化

若一個空間有洞，我們能堵上嗎？能，而且是典範地。度量空間 X 的完備化是一個完備空間 X̂，它含有 X 的一份忠實拷貝作為稠密子集——X̂ 中每個點都是 X 中點的極限。「忠實拷貝」由等距映射精確化：一個精確保持所有距離的映射，d(f(x), f(y)) = d(x, y)。Q 在 |x − y| 下的完備化恰好是 R；每個無理數都是有理柯西序列的極限。

構造很優雅：取 X 中所有柯西序列構成的集合，當兩個柯西序列對應項之間的距離趨於 0 時宣布它們等價，並令新的點就是這些等價類。Q 中 √2 這個洞，字面上就成了所有向它聚攏的有理序列所構成的那個類。這與最初由 Q 構造 R 是同一個思想。