內部、閉包、邊界與收斂

內部、閉包、邊界

給定任意集合 A，內部 int(A) 是舒適地位於 A 內部的點的集合——即存在某球 B(a, r) ⊆ A 的點 a。它是包含於 A 的最大開集。閉包 cl(A) 是包含 A 的最小閉集；等價地，它是 A 連同所有被 A 緊貼的點。邊界 ∂A 是從閉包中減去內部所剩下的：∂A = cl(A) \ int(A)——集合的「表皮」，既不安全地在內、也不安全地在外的點。

取實數軸上的 A = (0, 1]。其內部是 (0, 1)——端點 1 沒有任何停留在 A 內的球。其閉包是 [0, 1]——點 0 被 A 中任意靠近的點所緊貼。其邊界是兩點集 {0, 1}。若 a 周圍的每個球都含有 A 中異於 a 本身的點，則稱 a 是 A 的極限點；閉包恰好是 A 連同它所有的極限點。

移植後的收斂

在實數軸上，x_n → L 意為：對每個 epsilon > 0，存在指標 N，使得對所有 n ≥ N 都有 |x_n − L| < epsilon。要定義度量空間中的收斂，我們只改一個符號——把 |x_n − L| 換成 d(x_n, L)。若對每個 epsilon > 0 存在 N 使得當 n ≥ N 時 d(x_n, L) < epsilon，則稱序列 (x_n) 在 (X, d) 中收斂到 L。等價地：x_n 最終落入 L 周圍的每個球內。整套epsilon-N機制原封不動地存活下來。

有一項繼承值得證明：極限是唯一的。論證是經典的三角不等式夾擠，它在任意度量空間中都成立，因為它唯一用到的工具就是公理本身。

Claim: in any metric space a sequence has at most one limit.

Suppose x_n -> L and x_n -> M.  We show L = M.
Fix any epsilon > 0.

From x_n -> L: there is N1 with d(x_n, L) < epsilon/2 for n >= N1.
From x_n -> M: there is N2 with d(x_n, M) < epsilon/2 for n >= N2.

Pick any n >= max(N1, N2).  By the triangle inequality,

      d(L, M) <= d(L, x_n) + d(x_n, M)
              <  epsilon/2 + epsilon/2
              =  epsilon.

So d(L, M) < epsilon for EVERY epsilon > 0.
The only non-negative number smaller than every epsilon is 0,
so d(L, M) = 0, and by the identity axiom L = M.   QED

用序列刻畫閉集

收斂給出閉性的第二種、往往更好用的描述。集合 F 是閉的，當且僅當它是序列閉的：每當 F 中點構成的序列收斂時，其極限也落在 F 內。這正是為何「閉」給人「包含自身極限」的感覺。要證明某集合是閉的，一個乾淨的策略是抓取其中一個收斂序列，並證明極限無法逃逸。