球、開集與閉集

作為鄰域的球

固定一點 a 與半徑 r > 0。開球 B(a, r) 是所有到 a 的距離嚴格小於 r 的點的集合：B(a, r) = { x ∈ X : d(x, a) < r }。閉球允許取等：B[a, r] = { x : d(x, a) ≤ r }。在實數軸上，B(a, r) 是開區間 (a − r, a + r)；在帶歐幾里得度量的平面上它是圓盤；在最大值度量下，同樣的定義卻給出一個正方形。形狀取決於度量，但作用始終如一：球是「附近」的精確版本。

開集

若一個集合 U 的每個點周圍都存在某個完全落在 U 內的開球，則稱 U 是開的。形式地：對每個 a ∈ U，存在 r > 0 使得 B(a, r) ⊆ U。半徑可以依賴於點——靠近 U「邊緣」的點得到較小的球。開性意味著：U 中沒有任何點緊貼外部；每個點都有擺動的餘地。

這個名字是誠實的：開球確實是開的。這恰恰是三角不等式發揮作用之處。取 B(a, r) 內一點 x；它到中心的距離 d(x, a) < r，留有一段餘量 r − d(x, a)。以該半徑在 x 周圍作球，便保持在大球之內。

Claim: every open ball B(a, r) is an open set.

Let x be an arbitrary point of B(a, r), so d(x, a) < r.
Define the slack s = r - d(x, a).  Since d(x, a) < r, we have s > 0.

We show B(x, s) is contained in B(a, r).
Let y be any point of B(x, s), so d(y, x) < s.
Apply the triangle inequality with center a:

      d(y, a) <= d(y, x) + d(x, a)
              <  s        + d(x, a)
              =  (r - d(x, a)) + d(x, a)
              =  r.

Hence d(y, a) < r, so y is in B(a, r).
Thus B(x, s) is a subset of B(a, r).

Since x was arbitrary in B(a, r), every point has such a ball,
so B(a, r) is open.   QED

閉集及其遵循的規則

當一個集合 F 的補集 X \ F 是開的時，稱 F 是閉的。閉集恰好是包含自身所有極限的集合——下一篇會把這點說精確。當心一個常見陷阱：開與閉不是對立的。在任意空間中，全集 X 與空集同時既開又閉；軸上的區間 [0, 1) 則既非開也非閉。

1. 空集與全空間 X 是開的。
2. 任意多個（甚至無窮多個）開集的併是開的。
3. 有限個開集的交是開的——但無窮個交可能失敗（例如球 B(0, 1/n) 之交為單點 {0}，它在軸上不是開的）。
4. 由取補，閉集滿足鏡像規則：任意多個閉集的交、有限個閉集的併仍是閉的。