只保留距離
在實數軸上，我們用絕對值來度量兩個數相距多遠：從 x 到 a 的距離是 |x − a|。初等分析中幾乎一切——極限、連續、收斂——都透過這一個量來表述。度量空間的核心想法，就是保留距離的概念，丟掉其餘一切。我們要問：整套理論真正用到的，是 |x − a| 的哪些最基本性質？
答案很簡短。我們需要距離永不為負，當且僅當兩點重合時為零，是對稱的，並滿足三角不等式。度量就是任何遵守這四條規則的函數。一個驚人的事實（本軌道接下來會逐步展開）是：這四條規則足以重建開集、收斂與完備性——對函數空間、序列空間、碼字、甚至分形都成立。
四條公理
設 X 是一個點的集合。X 上的度量是一個函數 d : X × X → R，給每一對點指派一個實數，並對所有 x, y, z ∈ X 滿足以下條件：
- 非負性： d(x, y) ≥ 0。距離永不為負。
- 不可分辨者同一： d(x, y) = 0 當且僅當 x = y。距離為零恰好確定一個點。
- 對稱性： d(x, y) = d(y, x)。從 x 到 y 的距離等於返回的距離。
- 三角不等式： d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。繞道經過 y 永遠不會比直走更短。
若干例子，及一次驗證
在平面 R^2 上，熟悉的歐幾里得度量是 d2(x, y) = sqrt((x1 − y1)^2 + (x2 − y2)^2)。但計程車度量 d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2| 與最大值度量 d∞(x, y) = max(|x1 − y1|, |x2 − y2|) 同樣是同一個平面上的度量。在任意集合上，離散度量——當 x ≠ y 時 d(x, y) = 1，當 x = y 時為 0——也悄然滿足全部四條公理。讓我們證明離散度量滿足三角不等式，這裡唯一有實質內容的公理。
Claim: the discrete metric d satisfies d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z).
Recall d takes only the values 0 and 1.
Case 1: x = z.
Then d(x, z) = 0, and the right side is >= 0,
so 0 <= d(x, y) + d(y, z) holds trivially.
Case 2: x != z.
Then d(x, z) = 1. We must show d(x, y) + d(y, z) >= 1.
The point y cannot equal BOTH x and z (since x != z),
so at least one of x != y or y != z holds.
Whichever it is contributes a 1 to the right side, hence
d(x, y) + d(y, z) >= 1 = d(x, z).
Both cases hold, so the triangle inequality holds. QED