勒貝格外測度與卡拉泰奧多里準則

用區間覆蓋一個集合

區間 (a,b) 的大小顯然是 b − a。要測量任意集合 E ⊆ ℝ，就用一族可數開區間覆蓋它，並把它們的長度相加；再取最高效的那種覆蓋。形式地，勒貝格外測度 為 m*(E) = inf { Σ (b_k − a_k) : E ⊆ ⋃ (a_k, b_k) }，即對 E 的所有可數區間覆蓋取下確界。

這個 m* 對 ℝ 的 每一個 子集都有定義，這是個實在的優點。它是單調的（更大的集合需要更大的覆蓋）且可數次可加（把各覆蓋拼接起來）。它在區間上也給出正確答案：m*([a,b]) = b − a。其中 m*([a,b]) ≥ b − a 的證明用到緊緻性——把覆蓋經 海涅–博雷爾 約化為有限子覆蓋——這是此處唯一真正非平凡的計算。

卡拉泰奧多里的分割檢驗

卡拉泰奧多里的精彩之處，是用一個集合如何「分割」所有其他集合來定義可測性。稱 E 是（卡拉泰奧多里意義下的）[[measurable-set|可測集]]，若它乾淨地切開每個測試集 A：對所有 A ⊆ ℝ 有 m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。卡拉泰奧多里準則 要求 E 把每個集合的外測度按可加方式劃分——E 內部分加上 E 外部分必須恰好拼回整體。

其中一個不等號是自動成立的：次可加性已給出對任意 E、A 有 m*(A) ≤ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。故可測性實質上只是那條反向不等式 m*(A) ≥ m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)。這種不對稱使驗證比看上去容易——你永遠只需檢驗 ≥ 這一方向。

Claim: every set N with m*(N) = 0 is Caratheodory-measurable.

Let A be any test set. We must show
      m*(A) >= m*(A and N) + m*(A and N^c).     (the only direction needed)

Step 1 (monotonicity).  A and N is a subset of N, so
      m*(A and N) <= m*(N) = 0,   hence  m*(A and N) = 0.

Step 2 (monotonicity again).  A and N^c is a subset of A, so
      m*(A and N^c) <= m*(A).

Step 3 (add).
      m*(A and N) + m*(A and N^c) = 0 + m*(A and N^c) <= m*(A).

That is exactly the >= inequality. Combined with automatic subadditivity:
      m*(A) = m*(A and N) + m*(A and N^c).
So N is measurable, and m(N) = m*(N) = 0.                 QED

這條準則給我們帶來什麼

卡拉泰奧多里定理隨即道出回報：可測集全體構成一個 sigma-代數，而 m* 限制其上是一個真正的、可數可加的 測度——即 勒貝格測度 m。人們驗證它對補封閉（定義在 E 與 E^c 上明顯對稱），對可數並封閉（細緻的歸納加一個極限論證），而可加性正是從分割條件本身自然落出。